Задание 14. Вариант 17 из 36 вариантов ЕГЭ

Задание 14. Вариант 17 из 36 вариантов ЕГЭ

Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD со сторонами АВ =15 и ВС = 25. Все боковые рёбра пирамиды равны 5√17. На рёбрах AD и ВС отмечены соответственно точки K и N так, что AK = CN = 8. Через точки K и N проведена плоскость α, перпендикулярная ребру SB.

а) Докажите, что плоскость α проходит через точку М — середину ребра SB.

б) Найдите расстояние между прямыми DS и KM.

Решение.

а) Пусть точка О — пересечение BD и NK. Отрезки BN и KD равны и параллельны, поэтому точка О — середина BD. Рассмотрим треугольник BSD:

и

Значит, треугольник BSD прямоугольный с прямым углом BSD.

Плоскость α перпендикулярна ребру BS, поэтому она параллельна прямой SD. Следовательно, плоскость α пересекает плоскость BSD по прямой, параллельной прямой SD, то есть по прямой ОМ, содержащей среднюю линию треугольника BSD.

б) Искомое расстояние равно расстоянию от прямой SD до параллельной ей плоскости α, содержащей прямую КМ. Следовательно, это расстояние равно длине перпендикуляра SM, проведённого от прямой SD к плоскости α.

Ответ: