Задание 14. Вариант 20 из 36 вариантов ЕГЭ 2021

Задание 14. Вариант 20 из 36 вариантов ЕГЭ 2021

 Основание пирамиды SABC — равносторонний треугольник ABC. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, точки М и N — середины рёбер ВС и АВ соответственно, причём SN=AM.

а) Докажите, что угол между прямыми AM и SN равен 60°.

б) Найдите расстояние между этими прямыми, если ВС = 3√2.

Решение.

а) В треугольнике ABM проведем среднюю линию NM1 параллельно отрезку AM. Угол SNM1 будет углом между скрещивающимися прямыми SN и AM.

Пусть NM1 = a, тогда AM = 2a (по свойству средней линии). Рассмотрим прямоугольный треугольник AMB (с прямым углом AMB). Из него следует, что:

и  . Из прямоугольного треугольника ASN найдем катет AS (учитывая, что SN = AM – по условию задания):

Тогда

Используя теорему косинусов, найдем косинус угла между SN и NM1:

Следовательно,

,

а угол между прямыми SN и AM, равен (угол между прямыми всегда острый):

180° - 120° = 60°

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми SN и AM – это перпендикуляр из точки M к плоскости SNM1. Обозначим ее через h. В свою очередь h – это высота пирамиды с вершиной M, проведенной к основанию SNM1. Будем искать высоту h из объема пирамиды:

или, что то же самое:

,

откуда

По условию AB = BC = AC = 3√2, следовательно,

Рассмотрим прямоугольный треугольник SAN:

и

Пусть   и  , следовательно,   и

Ответ: 1