Задание 14.Вариант 26.из 36 вариантов ЕГЭ 2021

Задание 14.Вариант 26.из 36 вариантов ЕГЭ 2021

 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F — середина ребра SB, Q — середина ребра SC.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABQ и QDF.

б) Найдите угол между плоскостями ABQ и QDF.

Решение.

а) Плоскость ABQ – это равнобедренная трапеция AQ1QB, так как SABCD – правильная пирамида и Q – середина SC. Плоскость QDF – это равнобедренная трапеция QDAF. При этом, AQ является общей прямой для обеих плоскостей.

б) Рассмотрим прямоугольный треугольник ASC. Диагональ AC = √2, тогда справедливо равенство

,

то есть, треугольник ASC – прямоугольный (согласно обратной теореме Пифагора). Тогда и треугольник ASQ также прямоугольный с гипотенузой AQ:

Рассмотрим равносторонний треугольник ASD со сторонами 1. В таком треугольнике медиана  . Учитывая, что QQ1 – средняя линия треугольника SDC, то есть,  , запишем теорему косинусов в виде:

а синус этого угла

Вычислим площадь треугольника AQ1Q по формуле:

Также эту площадь можно выразить как

,

откуда

.

Стороны  , так как пирамида правильная.

Рассмотрим треугольник DSB, в котором Q1F – средняя линия, параллельная основанию DB=√2, следовательно,  . Рассмотрим треугольник Q1HF, в котором угол Q1HF – это линейный угол двугранного угла между плоскостями ABQ и QDF. Найдем косинус этого угла из теоремы косинусов:

и угол равен (учитывая, что arccos(-α)=π-arccos(α)):

Ответ: 

Ответ задания:  .