Задание № 15 ЕГЭ (профиль). Задачи на оптимизацию: пенсионный фонд

Задачи на оптимизацию: пенсионный фонд

Пример 1. Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t² тыс. руб. (т. е. к концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго — 4 тыс. руб. и т. д.), в течение 20 лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 25% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?

Решение:

В конце года t – t² тыс. руб,

(t + 1) – (t + 1)² тыс. руб.

Пусть у – прибыль в % по сравнению с предыдущим годом.

Исследуем функцию при на монотонность.

не определена –

1 у

Функция убывает при Значит, прибыль в процентах уменьшается с каждым годом.

Сравним прибыль в % со ставкой банка:

.

Следовательно, чтобы получить максимальную прибыль надо продать акции в конце 9-го года.

Ответ: 9.

Пример 2. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят 10t тыс. рублей в конце года t (t = 1; 2; ...). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 24%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей?

Решение:

В конце года t ценные бумаги стоят 10 t тыс. руб,

(t + 1) – 10 (t + 1) тыс. руб.

Пусть у – прибыль в % по сравнению с предыдущим годом.

Функция убывает при Значит, прибыль в % уменьшается с каждым годом.

Сравним прибыль с процентной ставкой банка:

Значит, в конце 5-го года следует продать ценные бумаги.

Ответ: 5.

Пример 3. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t² тыс. рублей в конце года t (t = 1; 2; 3; ...). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в 1 + r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?

Решение:

В конце года t ценные бумаги стоят t² тыс. руб,

(t + 1) – (t + 1)² тыс. руб.

Пусть у – прибыль в % по сравнению с предыдущим годом.

При функция убывает.

В конце 20 года прибыль 20² тыс. руб = 400 тыс. руб

21 года – 21² тыс. руб = 441 тыс. руб

22 года – 21² тыс. руб = 441 тыс. руб

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения.

1. Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t² тыс. руб. (т. е. к концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго — 4 тыс. руб. и т. д.), в течение 30 лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 20% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?

Ответ: 11.

2. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят 10t тыс. рублей в конце года t (t = 1; 2; 3; ...). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в 1 + r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце одиннадцатого года. При каких положительных значениях r это возможно?

Ответ: