Задание №16 ЕГЭ 2015 основная волна

№17. Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке A, причём мень­шая про­хо­дит через центр боль­шей. Хорда BC боль­шей окруж­но­сти ка­са­ет­ся мень­шей в точке P. Хорды AB и AC пе­ре­се­ка­ют мень­шую окруж­ность в точ­ках K и M со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые KM и BC па­рал­лель­ны.

б) Пусть L – точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков KM и AP. Най­ди­те AL, если ра­ди­ус боль­шей

окруж­но­сти равен 10, а BC = 16.

Решение.

А) Доказательство (1-й способ).

Проведем через точку А касательную АD к окружностям.

.

А) Доказательство (2-й способ).

Рассмотрим гомотетию с центром в точке А и коэффициентом 2.

. По свойству гомотетии .

[Кроме того, При этом АВ=2АК, АС=2АМ, АР=2АL, ВС=2МК ]

Б) В решении будем использовать, что М и К – середины сторон АС и АВ треугольника АВС, что следует из 2-го способа доказательства пункта (А).

1)

2) По свойству касательной и секущей: ВР²=ВК∙ВА, ВР²=ВК∙(2ВК), откуда Аналогично получаем

3) Пусть РВ=2х, тогда СР=16-2х,

По теореме косинусов для треугольника АВС имеем: , откуда .

4) По свойству пересекающихся хорд: AL∙PL=KL∙ML.

Так как KL=х, ML=8-х, AL=PL, то

х∙(8-х)=AL², AL²= , AL= .

Ответ: .