Задание 16. Вариант 20 из 36 вариантов ЕГЭ 2021

Задание 16. Вариант 20 из 36 вариантов ЕГЭ 2021

Задание 16. В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту ВН треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что АС и KN параллельны.

б) Найдите расстояние от точки N до прямой АС, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 6√6, угол BAC = 30°, угол ABC = 105°.

Решение.

а) Так как BH – высота треугольника ABC, то треугольник BHC – прямоугольный. Пусть  , тогда  . BN – диаметр описанной вокруг треугольника окружности. Соответственно,   и  . Углы CAK и CBH опираются на одну и ту же дугу CK, следовательно, они равны. По аналогии,  , так как опираются на дугу AN. Отсюда следует, что  , которые являются накрест лежащими, следовательно,  по признаку параллельных прямых.

б) Радиус описанной окружности по условию  , тогда ее диаметр  . Найдем отрезок BK из прямоугольного треугольника NBK по формуле:  . В свою очередь,

Имеем:

Сторона NK, равна:  , где

Получаем:

По условию задания  , соответственно,  . Хорды AC и BK опираются на равные дуги, значит, AC = BK.

Рассмотрим равнобедренную трапецию ANKC, в которой:

Рассмотрим прямоугольный треугольник NPA. Длина стороны NP, равна:

Следовательно, KH = NP = 18.

Ответ: 18.