Задание 16. Вариант 29 из 30 вариантов ЕГЭ 2018

Задание 16. Вариант 29 из 30 вариантов ЕГЭ 2018

Окружности с центрами О1 и O2 разных радиусов пересекаются в точках А и В. Хорда АС большей окружности пересекает меньшую окружность в точке М и делится этой точкой пополам.

а) Докажите, что проекция отрезка O1O2 на прямую АС в четыре раза меньше АС.

б) Найдите O1O2, если известно, что радиусы окружностей равны 5 и 17, а АС = 16.

Решение.

а) Рассмотрим равнобедренный треугольник   с равными сторонами   (так как они являются радиусами окружности). Тогда высота, опущенная из точки   на основание AM, будет в точке K делить это основание пополам. Из рисунка видно, что отрезок KM является проекцией   на AC и, учитывая, что AM=MC по условию задачи, то  .

б) Найдем сначала длину отрезка   из прямоугольного треугольника  , в котором известна гипотенуза   и катет  :

.

По аналогии найдем длину отрезка   из прямоугольного треугольника   с гипотенузой   и катетом  :

.

Теперь представим, что координата точки    , тогда координата точки    ,  , и длину отрезка   можно найти как евклидовое расстояние между точками:

Ответ:  .