Задание 16. Вариант 6 ЕГЭ 2020 профиль из 36 вариантов

Задание 16. Вариант 6 ЕГЭ 2020 профиль из 36 вариантов

Задание 16. В треугольнике ABC известно, что АС = 26 и АВ = ВС = 38.

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне АС, пересекает окружность, вписанную в треугольник ABC.

б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне АС.

Решение.

а) MN – средняя линия треугольника ABC и  , следовательно,  . Треугольник OTF – прямоугольный: OT – катет, OF – гипотенуза, следовательно, OF OT и OT

б) По условию AC=26, значит, MN=AC:2 = 13 (по свойству средней линии треугольника). Также дано, что AB=BC=38. Далее, отрезок касательной BP вычисляется как

,

где p – полупериметр треугольника ABC. Получаем:

Найдем длину отрезка  . Так как MP – касательная, а MN – секущая, то по теореме о секущей и касательной, можно записать:

Пусть  , а  . Получаем уравнение:

Значение x=9 не удовлетворяет условию задачи, значит, MF=4, FZ=5, ZN=4. И окончательно, имеем:

MF:FZ:ZN = 4:5:4

Ответ: 4:5:4