Задание № 15. Дифференцированные платежи. Задачи на определение периода кредитования

Задание № 17. Дифференцированные платежи. Задачи на определение периода кредитования

Дифференцированный платеж – это такая система выплат, при которой сама сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц). При этом платежи каждый год разные.   Таким образом, если кредит взят на n лет, то это значит, что сумму кредита а разделили на n равных частей и что каждый год после платежа сумма долга уменьшается на по сравнению с долгом на начало года.

Заметим,  

I. что каждая выплата состоит из двух частей: первая часть всегда фиксирована — это та часть, на которую должен уменьшаться долг каждый год (месяц), вторая часть — это сумма “набежавших” процентов на текущий долг.

Действительно, когда клиент выплачивает “набежавшие” проценты, сумма его долга становится равна той, которая была до начисления процентов (например, в первый год становится равна a). А далее он еще вносит часть от этого долга. И таким образом сумма долга уменьшается на часть, что и подразумевает дифференцированная система платежей.  

II. переплата по кредиту всегда равна сумме “набежавших” процентов на долг в первый год, во второй год, в третий год и т.д.

При вычислении суммы “набежавших” процентов после вынесения за скобку общего множителя в скобках получается сумма чисел, составляющих арифметическую прогрессию, которую находим по формуле

Задача 1.

На какое максимальное количество лет нужно выдать кредит, который будет выплачиваться дифференцированными платежами, чтобы наибольший годовой платеж превышал наименьший годовой платеж не более чем на 30%? Годовая процентная ставка по кредиту равна 10%.

Решение:

Пусть а руб – сумма кредита

р = 10 % – процентная ставка

n – количество лет (период кредитования)

Первый платеж наибольший годовой платеж, о последний платеж наименьший годовой платеж. По условию наибольший годовой платеж превышает наименьший годовой платеж не более чем на 30%, то есть:

Так как количество лет, то есть целое число, то

Ответ: на 4 года.

Задача 2. (№ 517580)

15-го января планируется взять кредит в банке на некоторое количество месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит.

Решение:

Пусть а руб – сумма кредита

р = 3 % – процентная ставка

n – количество месяцев

Все выплаты составляют:

По условию общая сумма выплат на 30% больше суммы кредита, то есть:

Ответ: на 19 месяцев.

Примечание. Можно было решить так:

Пусть S – переплата, тогда

По условию переплата равна 0,3а.

0,3а

Задания для самостоятельного решения:

1. (№ 517578) 

15-го января планируется взять кредит в банке на несколько месяцев. Условия его возврата таковы:

− 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего месяца;

− со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга;

− 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит.

Ответ: 9 месяцев.

2.  (№ 517470) 

15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условие его выплаты таковы:

− 1-го числа k-ого месяца долго возрастёт на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

− со 2-го по 14-е число k-того месяца необходимо выплатить часть долга;

− 15-го числа k-того месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит?

Ответ: 39 месяцев.