Задание 23 ОГЭ. Разные задачи.

ЗАДАНИЕ 23 ОГЭ.

ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ.

РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ

1. (311246) Найдите все значения , при которых неравенство не имеет решений.

Решение.

Правая часть неравенства задаёт квадратичную функцию , графиком которой является парабола с вершиной в точке , где

– коэффициент при наивысшей степени,

,

т.е. вершина находится в точке . Ветви этой параболы направлены вверх, т.к. коэффициент при наивысшей степени квадратного трёхчлена положителен.

Исходное неравенство не имеет решений в случае, если ветви параболы направлены вверх, и вершина параболы находится в положительной области оси Оу. Направление ветвей у нас уже определено, а расположение вершины зависит от координаты п. Она должна быть положительна, т.е.

Значит, .

Итак, подытожим. Если , то вершина параболы находится выше оси Ох, ветви её направлены вверх, значит, эта парабола не может принимать отрицательные значения и быть равной нулю, т.е. исходное неравенство не имеет решений.

Заметим, что решение данной задачи можно сократить, если найти координату п вершины параболы, используя формулу: , где – коэффициент при наивысшей степени. Тогда . Далее решение такое же, как изложено выше.

Ответ: .

1. (311547) Найдите наименьшее значение выражения и значения х и у, при которых оно достигается.

Решение.

Поскольку выражение состоит из двух слагаемых, каждое из которых является модулем выражения, то наименьшее значение может быть только нуль. Найдём, при каких значениях х и у это выражение равно нулю.

Значит, данное выражение принимает наименьшее значение при .

Ответ:

1. (311613) Первая прямая проходит через точки и . Вторая прямая проходит через точки и . Найдите координаты общей точки этих двух прямых.

Решение.

Поскольку прямая – это график линейной функции, то зададим каждую из прямых с помощью формулы:

и .

Т.к. первая прямая проходит через точки и , то координаты этих точек удовлетворяют уравнению этой прямой, т.е.

Тогда первая прямая задана уравнением: .

Т.к. вторая прямая проходит через точки и , то координаты этих точек удовлетворяют уравнению этой прямой, т.е.

Используем способ сложения. Первое уравнение умножим на и прибавим ко второму; второе уравнение умножим на и прибавим к первому.

Тогда вторая прямая задана уравнением: .

Для нахождения общей точки этих двух прямых, решим систему:

Значит, прямые имеют общую точку

Ответ:

1. (311655) Постройте график функции и определите, при каких значениях построенный график не будет иметь общих точек с прямой .

Решение.

Найдём область определения данной функции.

.

Упростим выражение, задающее функцию.

.

После упрощения функция принимает вид:

– линейная функция, графиком является прямая, проходящая через точки и с выколотыми точками .

Прямая не будет иметь общих точек с построенным графиком, если она ему параллельна, т.к. , либо если она проходит через каждую из выколотых точек.

.

.

Значит, прямая не имеет общих точек с графиком данной функции при

Ответ:

1. (311967) Найдите наибольшее значение выражения , если х и у связаны соотношением .

Решение.

Упростим заданное выражение.

Поскольку х и у связаны соотношением , то .

Оценим получившееся выражение.

. Значит, наибольшее значение исходного выражения равно

Ответ:

1. (314391) При каких значениях т вершины парабол и расположены по одну сторону от оси Ох?

Решение.

Вершины парабол будут расположены по одну сторону от оси Ох, если ординаты этих вершин будут иметь одинаковый знак. Причём, по условию задания, совершенно неважно, в какую сторону направлены ветви парабол. Найдём ординаты каждой вершины по формуле: .

;

.

Обе эти ординаты должны быть либо положительные, либо отрицательные. Произведём оценку .

. Значит, , поэтому также должно быть меньше нуля. Решаем неравенство:

Значит,

Ответ:

1. (339866) Прямая касается окружности в точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки касания.

Решение.

Поскольку прямая касается окружности , то она имеет с этой окружностью единственную общую точку. Чтобы найти её координаты, решим систему уравнений:

Учитывая единственность общей точки, решим квадратное уравнение (дискриминант должен равняться нулю).

Т.к. , то

Тогда квадратное уравнение принимает вид:

Т.к. абсцисса общей точки положительна, то не удовлетворяет условию, поэтому, .

Возвращаемся в систему уравнений:

Итак, общая точка прямой и окружности имеет координаты

Ответ:

ЗАДАЧИ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. (311553) Найдите наименьшее значение выражения и значения х и у, при которых оно достигается.

1. (311577) Найдите наименьшее значение выражения и значения х и у, при которых оно достигается.

1. (314446) При каких значениях т вершины парабол и расположены по одну сторону от оси Ох?

ОТВЕТЫ

3