Задание 26 ОГЭ. Треугольники.

ЗАДАНИЕ 26 ОГЭ.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ.

ТРЕУГОЛЬНИКИ.

1. (78) Через середину медианы треугольника и вершину проведена прямая, пересекающая сторону в точке . Найдите отношение площади треугольника к площади четырёхугольника .

Решение. Обозначим

По свойству медианы треугольника (Медиана любого треугольника делит его на два равновеликих (с равными площадями) треугольника), медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника: .

Т.к. точка - середина , то – медиана треугольника , значит, делит его на два равновеликих треугольника: .

Проведём . Т.к. проходит через середину стороны и параллельна стороне , то она является средней линией треугольника , значит, .

В отрезок параллелен , т.к. является частью отрезка , и проходит через середину стороны , значит, является средней линией , поэтому .

Итак, .

По аналогии со свойством медианы, .

Тогда, .

Найдём отношение площади треугольника к площади четырёхугольника .

.

В ответе можно записать любую из предложенных форм записи: либо , либо , либо .

Ответ: .

1. (311242) Площадь треугольника равна . Биссектриса пересекает медиану в точке , при этом . Найдите площадь четырёхугольника .

Решение. Обозначим

По свойству медианы треугольника (Медиана любого треугольника делит его на два равновеликих (с равными площадями) треугольника), медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника: .

По свойству биссектрисы треугольника (Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам), учитывая, что , определяем, что . Тогда в треугольнике .

Определимся теперь с площадями треугольников.

Треугольники и имеют общую высоту, выходящую из вершины . Обозначим её . Так как , то . Составим формулу площади треугольника и выразим через неё площади треугольников и .

В треугольнике высоту, выходящую из вершины обозначим . Она является общей для трёх треугольников: и .

Поскольку , то . Составим формулу площади треугольника и выразим через неё площади треугольников и .

Найдём теперь площадь четырёхугольника .

Ответ:

1. (340325) В треугольнике ABC на его медиане отмечена точка так, что . Прямая пересекает сторону в точке . Найдите отношение площади треугольника к площади четырёхугольника .

Решение. Обозначим

1). По свойству медианы треугольника (Медиана любого треугольника делит его на два равновеликих (с равными площадями) треугольника), медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника: .

2). Треугольники и имеют общую высоту, выходящую из вершины . Обозначим её . По условию, . Составим формулу площади треугольника и выразим через неё площади треугольников и .

3). Проведём . Т.к. проходит через середину стороны и параллельна стороне , то она является средней линией треугольника , значит, .

Рассмотрим и .

(по I признаку подобия треугольников). Значит, соответствующие стороны у этих треугольников пропорциональны, т.е. . По условию, , значит, . Поскольку , то . Отсюда получаем, что .

Треугольники и имеют общую высоту, выходящую из вершины . Обозначим её . Составим формулу площади треугольника и выразим через неё площадь треугольника .

4). Найдём теперь площадь четырёхугольника .

5). Тогда искомое отношение имеет вид:

Ответ можно записать в любом удобном виде.

Ответ: .

1. (314829) На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо – 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

Решение.

1). Преобразуем жизненную ситуацию в геометрический рисунок.

При опускании, «журавль» описывает два треугольника: и , причём, .

по I признаку подобия треугольников. Значит, соответствующие стороны у этих треугольников пропорциональны, т.е. .

2). Поскольку высота отмеряется по перпендикуляру к земле, проведём их из точки и из точки . Получили два прямоугольных треугольника: и .

по I признаку подобия треугольников. Значит, соответствующие стороны у этих треугольников пропорциональны, т.е. .

Ответ: .

1. (315070) Медиана и биссектриса треугольника пересекаются в точке , длина стороны втрое больше длины стороны . Найдите отношение площади четырёхугольника к площади треугольника .

Решение.

1). Обозначим

2). По свойству медианы треугольника (Медиана любого треугольника делит его на два равновеликих (с равными площадями) треугольника), медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника: .

3). По свойству биссектрисы треугольника (Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам), учитывая, что , т.е. , определяем, что . Тогда в треугольнике .

4). Определимся теперь с площадями треугольников.

Треугольники и имеют общую высоту, выходящую из вершины . Обозначим её . Так как , то . Составим формулу площади треугольника и выразим через неё площадь треугольника .

5). В треугольнике высоту, выходящую из вершины обозначим . Она является общей для трёх треугольников: и .

Поскольку , то . Составим формулу площади треугольника и выразим через неё площадь треугольника .

6). Найдём теперь площадь четырёхугольника .

7). Определим искомое отношение площадей:

Ответ можно записать в любой предложенной форме.

Ответ:

1. (316361) Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна , а площадь равна .

Решение. Дан треугольник

1). Проведём медиану . В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, пересекает гипотенузу в точке, которая является центром описанной около этого треугольника окружности. Поэтому .

2). Проведём высоту . Из формулы площади треугольника: получаем, что .

3). В треугольнике катет , гипотенуза , значит, . Мы получаем, что катет равен половине гипотенузы, значит, этот катет лежит напротив угла, равного , т.е. .

4). является внешним углом треугольника , поэтому, . Но треугольник равнобедренный, у него , значит, .

5). В треугольнике .

Ответ: .

1. (333323) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника .

Решение.

1). Биссектриса и медиана пересекаются в точке . Т.к. , то в треугольнике является биссектрисой и высотой, поэтому этот треугольник равнобедренный, т.е. . Значит, – медиана, т.е. .

2). – медиана , значит, . Тогда .

3). По свойству биссектрисы (Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам), . Тогда .

4). Проведём отрезок . Он проходит через середину стороны , значит, является средней линией . Мы получили, что .

5). Рассмотрим и .

по I признаку подобия треугольников. Значит, . Тогда .

6). Из , по теореме Пифагора, . Тогда .

7). В , по теореме Пифагора, . Тогда .

Ответ:

1. (339514) Медиана и биссектриса треугольника пересекаются в точке , длина стороны относится к длине стороны как . Найдите отношение площади треугольника к площади четырёхугольника .

Решение.

1). Обозначим

2). По свойству медианы треугольника (Медиана любого треугольника делит его на два равновеликих (с равными площадями) треугольника), медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника: .

3). По свойству биссектрисы треугольника (Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам), учитывая, что , определяем, что . Тогда в треугольнике .

4). Определимся теперь с площадями треугольников.

Треугольники и имеют общую высоту, выходящую из вершины . Обозначим её . Так как , то . Составим формулу площади треугольника и выразим через неё площадь треугольника .

5). В треугольнике высоту, выходящую из вершины обозначим . Она является общей для трёх треугольников: и .

Поскольку , то . Составим формулу площади треугольника и выразим через неё площади треугольников и .

6). Найдём теперь площадь четырёхугольника .

7). Определим искомое отношение площадей:

Ответ можно записать в любой предложенной форме.

Ответ:

1. (311252) Стороны треугольника равны соответственно. Точка расположена вне треугольника , причём отрезок пересекает отрезок в точке, отличной от . Известно, что треугольник с вершинами подобен исходному. Найдите косинус угла , если .

Решение.

1). Треугольник тупоугольный с тупым углом . Поскольку этот треугольник подобен треугольнику , то в также должен быть тупой угол. Для того, чтобы его определить, вспомним свойство треугольника: «Напротив большего угла лежит большая сторона, и, наоборот, напротив большей стороны лежит больший угол». Значит, тупой угол находится напротив стороны , равной . В соответствии с этими рассуждениями, рисуем чертёж.

2). Т.к. , у них соответствующие углы равны. Из пункта 1) мы определили, что . Найдём остальные равные углы. Луч проходит между сторонами угла , значит, , тогда , и тогда .

3). Из подобия треугольников и следует пропорциональность соответствующих сторон, т.е. . Тогда .

4). По теореме косинусов,

Ответ: .

1. (340065) Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении , считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна .

Решение.

1). Биссектрисы треугольника пересекаются в точке . Биссектриса делится точкой в отношении , считая от вершины, т.е. .

2). По свойству биссектрисы треугольника (Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам), из треугольника , учитывая, что , определяем, что . Из треугольника .

3). Введём обозначение , тогда (т.к. и ). Из пропорций, полученных в пункте 2), найдём стороны и .

4). Найдём периметр треугольника.

Ответ: .

ЗАДАЧИ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. (208) Через середину медианы треугольника и вершину проведена прямая, пересекающая сторону в точке . Найдите отношение площади четырёхугольника к площади треугольника

2. (314831) Через середину медианы треугольника и вершину проведена прямая, пересекающая сторону в точке . Найдите отношение площади треугольника к площади четырёхугольника

3. (314999) Через середину медианы треугольника и вершину проведена прямая, пересекающая сторону в точке . Найдите отношение площади треугольника к площади треугольника

4. (315043) Через середину медианы треугольника и вершину проведена прямая, пересекающая сторону в точке . Найдите отношение площади треугольника к площади четырёхугольника

5. (311261) Площадь треугольника равна . Биссектриса пересекает медиану в точке , при этом . Найдите площадь четырёхугольника .

6. (352430) В треугольнике ABC на его медиане отмечена точка так, что . Прямая пересекает сторону в точке . Найдите отношение площади четырёхугольника к площади треугольника .

7. (341345) В треугольнике ABC на его медиане отмечена точка так, что . Прямая пересекает сторону в точке . Найдите отношение площади треугольника к площади четырёхугольника .

8. (352418) В треугольнике ABC на его медиане отмечена точка так, что . Найдите отношение площади треугольника к площади треугольника .

1. (314937) На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо – 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м?

1. (314954) На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо – 3 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?

1. (314955) На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 4 м, а длинное плечо – 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?

1. (314961) На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо – 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

1. (314965) На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 3 м, а длинное плечо – 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м?

1. (314966) На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо – 7 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?

1. (314967) На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо – 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м?

1. (314975) На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 3 м, а длинное плечо – 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м?

1. (314986) На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо – 5 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?

1. (314991) На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 1 м, а длинное плечо – 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

1. (314992) На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 1 м, а длинное плечо – 3 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

1. (314866) Медиана и биссектриса треугольника пересекаются в точке , длина стороны втрое больше длины стороны . Найдите отношение площади треугольника к площади четырёхугольника .

2. (315029) Медиана и биссектриса треугольника пересекаются в точке , длина стороны втрое больше длины стороны . Найдите отношение площади треугольника к площади четырёхугольника .

3. (316387) Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна , а площадь равна .

4. (340022) Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна , а площадь равна .

5. (351296) Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна , а площадь равна .

6. (348673) Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна , а площадь равна .

7. (349804) Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна , а площадь равна .

8. (350548) Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна , а площадь равна .

9. (339458) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 92. Найдите стороны треугольника .

10. (339507) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника .

11. (339523) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 60. Найдите стороны треугольника .

12. (339636) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 152. Найдите стороны треугольника .

13. (339710) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 136. Найдите стороны треугольника .

14. (339748) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 64. Найдите стороны треугольника .

15. (339852) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 104. Найдите стороны треугольника .

16. (339853) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 164. Найдите стороны треугольника .

17. (339916) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 192. Найдите стороны треугольника .

18. (340062) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 160. Найдите стороны треугольника .

19. (340091) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 176. Найдите стороны треугольника .

20. (333349) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 168. Найдите стороны треугольника .

21. (339435) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 208. Найдите стороны треугольника .

22. (357152) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника .

23. (357154) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 44. Найдите стороны треугольника .

24. (357156) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 16. Найдите стороны треугольника .

25. (357158) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 20. Найдите стороны треугольника .

26. (357160) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 8. Найдите стороны треугольника .

27. (357162) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 24. Найдите стороны треугольника .

28. (357163) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 32. Найдите стороны треугольника .

29. (357164) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 36. Найдите стороны треугольника .

30. (357165) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 40. Найдите стороны треугольника .

31. (353380) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 84. Найдите стороны треугольника .

32. (351766) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 56. Найдите стороны треугольника .

33. (353176) В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 72. Найдите стороны треугольника .

34. (353377) Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении , считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна .

35. (348384) Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении , считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна .

36. (348435) Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении , считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна .

37. (348459) Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении , считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна .

38. (348683) Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении , считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна .

39. (348841) Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении , считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна .

40. (348925) Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении , считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна .

41. (349083) Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении , считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна .

42. (349323) Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении , считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна .

43. (349443) Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении , считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна .

44. (349642) Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении , считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна .

45. (350137) Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении , считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна .

46. (350512) Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении , считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна .

47. (351950) Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении , считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна .

48. (352531) Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении , считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна .

49. (352655) Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении , считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна .

50. (352764) Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении , считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна .

51. (352851) Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении , считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна .

52. (353016) Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении , считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна .

ОТВЕТЫ

6