Задание для группы С а11 на 28.04 и 29.04. 2021

28.04.2021 Лекция по теме «Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел» Составьте конспект и решите задачи

Две фигуры (или тела) называются равными, если их можно совместить наложением.

Два тела подобны, если одно из них может быть получено из другого путём увеличения (или уменьшения) всех его линейных размеров в одном и том же отношении.

Пример 1: Автомобиль и его модель – подобные тела.

Пример 2. Два тела (фигуры) зеркально подобны, если одно из них подобно зеркальному отражению другого.

Пример 3: Картина и её фотонегатив зеркально подобны друг другу.

В подобных и зеркально подобных фигурах все соответственные углы (линейные и двугранные) равны.

Пример 4: Две правильные призмы или пирамиды с одинаковым числом граней подобны, если радиусы их оснований пропорциональны их высотам. Два круглых цилиндра или конуса подобны, если радиусы их оснований пропорциональны их высотам.

Главная величина геометрических тел — это их объём.

Объём геометрического тела — это величина, которая описывает занимающую этим телом часть пространства.

ИЛИ Объем тела – это положительная величина той части пространства, которую занимает геометрическое тело.

Задача 1.

Три латунных куба 6 м, 8 м и 10 м переплавлены в один куб. Чему равно ребро этого куба.

Решение выполнить самостоятельнно

Ответ: 12 м.

  Объемы равных тел равны.

Если тело разбито на несколько тел, не имеющих общих внутренних точек, то его объем равен сумме объемов этих тел.

Из определения следует, что объём не зависит ни от местонахождения тела в пространстве, ни от того, как это тело делится на части.

Величину объёма вычисляют, основываясь на аксиомах:
1) равные тела имеют равные объёмы.
2) объём тела равен сумме объёмов его отдельных частей.

Чтобы объём можно было измерить, т. е. чтобы объём можно было бы выразить в виде числа, необходимо выбрать единицу измерения объёма.

Единица объёма — это объём такого куба, ребро которого равно одной единице длины.

Если ребро куба равно 1 см, то его объём обозначается кубическими сантиметрами — см³, если ребро куба равно1 м, то объём обозначается кубическими метрами — м³.

Тела с равными объёмами называются равновеликими.

Равные тела

Равные тела с объёмом 8 см³

Равновеликие тела

Равновеликие тела с объёмом 6 см³

Все равные тела равновелики, но не все равновеликие тела равны.

Отношение площадей поверхностей подобных тел

УТВЕРЖДЕНИЕ 1: Если два и более тел подобны, то площади всех соответствующих плоских и кривых поверхностей этих тел пропорциональны квадратам любых соответствующих отрезков.

Задача 2. Даны два шара с радиусами 3 и 1. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго? Решение выполните самостоятельно

Ответ: 9.

Задача 3. Даны два шара с радиусами 14 и 2. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности другого?

Решение выполните самостоятельно

Ответ: 49.

Задача 4. Даны два шара с радиусами 8 и 4. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Решение выполните самостоятельно

Ответ: 4.

Отношение объемов подобных тел

УТВЕРЖДЕНИЕ 2: Если два и более тел подобны, то их объёмы, а также объёмы любых их соответствующих частей, пропорциональны кубам любых соответствующих отрезков.

Вывод:

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.

ИЛИ

Объемы подобных тел пропорциональны кубам соответствующих линейных размеров.

Объём куба – это произведение трех его измерений.

Пример 5: На рисунке выше показаны два куба, сторона одного из которых в 3 раза больше стороны другого.

Объем тела с рисунка а) V=x*x*x=x³

Объем тела с рисунка б) V=3x*3x*3x=27x³

Следовательно, тело на рис. б) имеет объем 3³, т.е. его объем в 27 раз больше объема тела на рис. а).

Задача 5. Чашка диаметром 8 см и высотой 10 см вмещает
0,5 литра воды. Каких размеров должна быть подобная чашка, вмещающая 4 литра воды ?

Решение:

Чашки – подобные цилиндры, значит отношение их

объёмов равно отношению кубов соответствующих отрезков

(в нашем случае – высот и диаметров чашек).

Следовательно, высота h новой чашки находится из отношения:

(h/10 )³= 4/0,5; то есть h³ = 8*10³, откуда h = 20 см;

аналогично, для диаметра d получим:

(d/8)³=4/0,5 , то есть d³= 8*8³,  откуда d = 16 см.

Ответ: h = 20 см; d = 16 см.

Задача 6. Масса автомобиля 1050 кг. Изготовлена модель автомобиля в масштабе 1:60. Определить массу модели автомобиля, если она сделана из того же материала, что и сам автомобиль.

Решение:

(Объем модели)/(объем автомобиля)=(1/60)³, поскольку объемы подобных тел пропорциональны кубам соостветствующих линейных размеров.

Масса =плотность*объем, а так как автомобиль и модель сделаны из одного материала, значит:

(Масса модели)/(Масса автомобиля)=(1/60)³

Следовательно,

Масса модели = (Масса автомашины) *(1/60)³=(1050)/(60³)=
0,0049 кг=4,9 г.

Ответ: 4,9 г.

Задача 7.Однородный шар диаметром 3 см имеет массу 162 грамма. Чему равна масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 2 см? Ответ дайте в граммах.

Решение.

Масса шара прямо пропорциональна его объёму. Объёмы шаров относятся как кубы их радиусов:

Следовательно, масса второго, меньшего шара равна 162*8/27=48 грамм.

Ответ:48.

Задача 8 Даны два шара с радиусами 8 и 2. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

Решение. Объёмы шаров относятся как кубы отношений их радиусов. Радиус большего шара в 4 раза больше радиуса меньшего, поэтому их объёмы относятся как 4³= 64.

Ответ: 64.

29.04.2021 Решение задач

Решить задачи

Задача 1.Даны два шара с радиусами 5 и 1. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Задача 2.Даны два шара с радиусами 12 и 4. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

Задача 3. Чашка диаметром 5 см и высотой 10 см вмещает
1 литр воды. Каких размеров должна быть подобная чашка, вмещающая 4 литра воды ?