Задание для группы Са11 на 15.03, 18.03, 19.03.2021

19.03.2021 Лекция

Аксиомы стереометрии и следствия из них

Скачать учебник Геометрия под редакцией Атанасяна, 2013 год, прочитайте параграф глава Письменно ответить на следующие вопросы:

1. Что называется стереометрией?

2. Что являются основными фигурами в пространстве?

3. Приведите примеры многогранников. Начертите их.

4. Какие поверхности называются многогранниками?

5. Что служит изображением пространственной фигуры?

6. Сформулируйте аксиому 1 и выполните чертеж к ней. Приведите примеры.

7. Сформулируйте аксиому 2 и выполните чертеж к ней Приведите примеры.

8. Сформулируйте аксиому 3 и выполните чертеж к ней Приведите примеры.

9. Запишите следствия из аксиом, выполните чертежи и докажите обе теоремы.

10. Решите задачи: стр. 7 № 1, 2, 3

5. Практическое задание:

Графическая работа №1

1. Прямая лежит MP в плоскости α.

2. Прямая АВ пересекает плоскость α в точке М.

3. Плоскость α проходит через прямую а и точку М, не принадлежащую прямой а, и пересекает прямую b в точке М.

4. Прямые МС и МВ пересекают плоскость β в одной и той же точке.

5. Прямые МС и МВ пересекают плоскость γ в разных точках.

18.03.2021 Контрольная работа №7

КОМБИНАТОРИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Задание 1. Вычислите факториал

1. 2. 3.

Задание 2. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,0 , при условии, что ни одна из цифр в числе не повторяется? Задание 3. Сколько вариантов команд можно составить из 10 человек, если в команду требуется 3 человека?

Задание 4.Упростите выражение

1.(С₁₀⁶—С₁₀⁴)/Р₈ 2. (С₁₂⁸—С₁₂⁵)/С²₄ 3. (С₈⁶—С₈⁴)/А²₅

Задание 5.

1. Сколькими способами на шахматной доске можно расставить 8 ладей в один ряд?

2. Сколькими способами можно выбрать 3 вида косметических средств из 9?

3.Сколько двухзначных чисел можно составить из предложенных 0,2,3,4,6,5 цифр?

Задание 6 Решите задачу:

Задача 1. В ящике лежит 10 шаров. Из них 3 белых шара, 5 желтых шаров и 2 красных шара. Какова вероятность вынуть из урны красный шар?

Задача 2. В коробке лежит 10 конфет. Из них 3 карамели, 5 конфет «Мишка на севере» и 2 конфеты «Трюфель». Какова вероятность наугад вынуть из коробки шоколадную конфету?

Задача 3. В первой урне находится 15 черных шаров и 35 – белых. Во второй урне находится 10 черных шаров и 15 – белых. Из каждой урны достали по одному шару Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными.

Задача 4. Подбрасывается два игральных кубика, отмечается число очков на верхней грани каждого кубика. Найти вероятность того, что на обоих кубиках выпало число очков, большее двух.

Задание 7 Запишите разложение (2а-1)⁷

Задание 8. Докажите справедливость равенства

Задание 9. Построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины.

15.03.2021 Лекция

Дискретная случайная величина, закон ее распределения

Прочитать лекцию и записать ее, составив вопросы к ней

Определение 1: Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств, и в свою очередь, случайная величина называется дискретной, если множество её значений конечно или счётно.

Кроме дискретных случайных величин существуют также непрерывные случайные величины.

Рассмотрим более подробно понятие случайной величины. На практике часто встречаются величины, которые могут принимать некоторые значения, но нельзя достоверно предсказать, какое именно значение каждая из них примет в рассматриваемом опыте, явлении, наблюдении. Например, число мальчиков, которые родятся в Москве в ближайший день, может быть различным. Оно может быть равным нулю (не родится ни одного мальчика: родятся все девочки или вообще не будет новорождённых), одному, двум и так далее до некоторого конечного числа n. К подобным величинам относятся: масса корнеплода сахарной свеклы на участке, дальность полёта артиллерийского снаряда, количество бракованных деталей в партии и так далее. Такие величины будем называть случайными. Они характеризуют все возможные результаты опыта или наблюдения с количественной стороны.

Примерами дискретных случайных величин с конечным числом значений могут служить число родившихся детей в течение дня в населённом пункте, число пассажиров автобуса, число пассажиров, перевезённых московским метро за сутки и т. п.

Число значений дискретной случайной величины может быть и бесконечным, но счётным множеством. Но в любом случае их можно в каком-то порядке пронумеровать, или, более точно - установить взаимно-однозначное соответствие между значениями случайной величины и натуральными числами 1, 2, 3, ..., n.

Внимание: новое, очень важное понятие теории вероятностей - закон распределения. Пусть дискретная случайная величина X может принимать n значений:  . Будем считать, что они все различны (в противном случае одинаковые должны быть объединены) и расположены в возрастающем порядке. Для полной характеристики дискретной случайной величины должны быть заданы не только все её значения, но и верояности  , с которыми случайная величина принимает каждое из значений, т. е.  .

Определение 2: Законом распределения дискретной случайной величины называется любое правило (функция, таблица) p(x), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной

Наиболее просто и удобно закон распределения дискретной случайной величины задавать в виде следующей таблицы:

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины. В верхней строке ряда распределения перечислены в порядке возрастания все возможные значения дискретной случайной величины (иксы), а в нижней - вероятности этих значений (p).

События   являются несовместимыми и единственно возможными: они образуют полную систему событий. Поэтому сумма их вероятностей равна единице:

.

Пример 1. В студенческой группе организована лотерея. Разыгрывается две вещи стоимостью по 1000 руб. и одна стоимостью по 3000 руб. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для студента, который приобрёл один билет за 100 руб. Всего продано 50 билетов.

Решение. Интересующая нас случайная величина X может принимать три значения: - 100 руб. (если студент не выиграет, а фактически проиграет 100 руб., уплаченные им за билет), 900 руб. и 2900 руб. (фактический выигрыш уменьшается на 100 руб. - на стоимость билета). Первому результату благоприятствуют 47 случаев из 50, второму - 2, а третьему - один. Поэтому их вероятности таковы: P(X=-100)=47/50=0,94, P(X=900)=2/50=0,04, P(X=2900)=1/50=0,02.

Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид

Ряд распределения может быть построен только для дискретной случайной величины (для недискретной он не может быть построен хотя бы потому, что множество возможных значений такой случайной величины несчётно, их нельзя перечислить в верхней строке таблицы).

Наиболее общей формой закона распределения, пригодной для всех случайных величин (как дискретных, так и недискретных), является функция распределения.

Определение 3: Функцией распределения дискретной случайной величины или интегральной функцией называется функция  , которая определяет вероятность, что значение случайной величины X меньше или равно граничному значению х.

Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений.

Пример 2. Дискретная случайная величина X - число очков, выпавших при бросании игральной кости. Постоить её функцию распределения.

Решение. Ряд распределения дискретной случайной величины X имеет вид:

Функция распределения F(x) имеет 6 скачков, равных по величине 1/6 (на рисунке внизу).