Задание для группы Са12 на 20.02, 24.02, 25.02

20.02.2021 Лекция

Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет размещений, перестановок, сочетаний.

Прочитайте параграф 52 стр.319 « Сочетания и размещения», Учебник Алгебра и начала анализа под редакцией Мордкович, часть 1, год издания 2013. В другом учебнике страница параграфа может отличаться. Затем ответьте на следующие вопросы:

1. Как обозначают и называют произведение подряд идущих первых n натуральных чисел?

2. Заполните таблицу

1. Сформулируйте теорему о том, сколькими способами можно расставить по одному на n различных способов? (теорема 1) Запишите формулу.

2. Решите задачу: К хозяину дома пришли гости Анна, Василий, Савелий, Диана. За круглым столом 5 стульев.

А) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом?

В) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если место хозяина уже известно?

С) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если известно, что Савелия следует посадить с Анной?

5. Решите задачу: В чемпионате по футболу участвовало 7 команд. Каждая команда сыграла по одной игре с каждой командой. Сколько было всего игр?

6. Запишите теорему о выборе двух элементов. (теорема 2)

7. Что называют числом сочетаний из n элементов по 2. (определ. 2)

8. Решите задачу: Встретились 11 футболистов и 6 хоккеистов. Каждый стал по 1 разу играть с каждым в шашки. Сколько встреч было между а) футболистами б) хоккеистами в) футболистами и хоккеистами.

24.02.2021 Лекция

История развития комбинаторики, теории вероятностей и статистики, их роль в различных сферах деятельности.

Прочитайте лекцию. Затем ответьте на следующие вопросы:

Комбинаторика — это раздел математики, изучающий методы выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с установленными правилами.

Исследования, посвященные различным вариантам выборки заданного числа элементов из некоторого конечного множества, занимали лучшие математические умы человечества достаточно давно. Отдельные комбинаторные задачи решали в древней Индии, Китае, античной Греции. Тем не менее, как самостоятельная научная дисциплина комбинаторика стала выделяться из математики только в XVII-ом столетии. В этот период формируется терминология новой научной области, появляется ряд значительных исследований, посвященных комбинаторным методам. Перечислим наиболее значительные труды:

• 1634 год, Пьер Эригон в «Практической арифметике», независимо от исследований итальянского математика первой половины 16-го века Тартальи, представил способ определения числа сочетаний из n элементов по m.

• 1654 год, Блез Паскаль направил Ферма «Трактат об арифметическом треугольнике» (опубликовано посмертно в 1665 г.), в котором автор рассматривает и доказывает некоторые свойства сочетаний.

• 1656 год, Андре Таке в «Теории и практике арифметики» посвящает небольшую главу комбинаторным методам. Таке независимо от работ предыдущих авторов повторяет вычисления числа сочетаний из n элементов по m. В этой же работе автор впервые использует термин перестановки (permutatio).

• 1666 год, Готфрид Лейбниц публикует «Рассуждение о комбинаторном искусстве». Эта работа считается отправной точкой появления комбинаторики. Здесь Лейбниц дает научное основание теории сочетаний и перестановок.

• 1685 год, Френикль де-Бесси в статье «Резюме теории соединений» впервые рассматривает перестановки с повторениями.

• 1713 год, Яков Бернулли во второй части «Искусства предположений» дает наиболее полное изложение комбинаторики для данного периода.

• Людям часто приходится сталкиваться с проблемой, когда нужно подсчитать число всех возможных способов расположения предметов и исхода какого-либо события. Человеку требуется находить всевозможные варианты, которые в последующем складываются в самые различные комбинации. С поиском комбинаций такого рода приходится иметь дело представителям многих профессий. Например, логисту, при составлении расписания движения, учителю, при назначении дежурств в классе, химику, выбирающему из многих комбинаций химических элементов наилучшую.

С задачами комбинаторики людям приходилось сталкиваться еще в глубокой древности. Дальнейшее развитие комбинаторики произошло в связи с появлением таких игр как: шашки, домино и шахматы. Для оценки шанса на победу, опытные игроки применяли технику вычисления общего количества ходов, включая как положительные, так и отрицательные исходы. В результате создавался набор комбинаций, которые способствовали увеличению вероятности выигрыша. В математической науке исследования такого рода представляют особую дисциплину – теорию вероятностей, рассчитать которую без комбинаторики будет крайне затруднительно.

В настоящие время комбинаторика получила обширное распространение и имеет огромное значение во всевозможных областях жизнедеятельности. С комбинаторными величинами сталкиваются представители многих профессий: ученый – химик, биолог, конструктор, диспетчер, астролог, экономист. Тенденция усиления интереса к комбинаторике обуславливается бурным развитием кибернетики и вычислительной техники. Понятие комбинаторика представляет собой раздел математики, базирующийся на изучении всевозможных сочетаний, перестановок, размещений, перечислений тех или иных элементов. Главная задача комбинаторики состоит в выборе правильной комбинаторной конфигурации, которая определяет метод возведения конкретной конструкции из элементов исходного множества

Вопросы:

1. Что называется комбинаторикой?

2. Какие ученые внесли вклад в изучении комбинаторики?

3. В чем состоит главная задача комбинаторики?

4. Выполните тест.

Запишите решение.

25.02.2021 Лекция

Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Прочитайте параграф 52 стр.324 « Сочетания и размещения», и параграф 53 «Формула бинома Ньютона». Учебник Алгебра и начала анализа под редакцией Мордкович, часть 1, год издания 2013. В другом учебнике страница параграфа может отличаться. Затем ответьте на следующие вопросы:

1. Что называют числом размещений из n элементов по 2, как обозначают? (опр. 3)

2. Решите задачу: В классе 27 учеников. К доске нужно вызвать двоих. Сколькими способами это можно сделать, если первый ученик должен решить задачу по алгебре, а другой – по геометрии? Сколькими способами это можно сделать, если они должны быстро стереть с доски?

3. Запишите формулы А^k_n и C^k_n ( теорема 4)

4. Решите задачу: В классе 27 учеников, из них нужно выбрать троих. Сколькими способами это можно сделать, если первый ученик должен решить задачу, второй – сходить за мелом, третий – пойти дежурить в столовую? Сколькими способами это можно сделать, если им следует спеть хором?

5. Запишите треугольник Паскаля (стр. 329)

6. Запишите формулы (а+в)¹; (а+в)²; (а+в)³; (а+в)⁴

7. Запишите формулу бинома Ньютона. Что называют биномиальными коэффициентами?

8. Раскройте скобки в выражениях: (х+1)⁶; (а²-2в)⁵