Задания к конкурсу "Математическая регата" с решением

7 класс решения

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).

1.1. Два автобуса ехали навстречу друг другу с постоянными скоростями. Первый выехал из Москвы в 11 часов утра и прибыл в Ярославль в 16 часов, а второй выехал из Ярославля в 12 часов и прибыл в Москву в 17 часов. В котором часу они встретились?

Ответ: в 14 часов.

Рис. 1

Решение. Так как каждый автобус ехал ровно 5 часов, то за час они проезжают одинаковые расстояния: S, где S – длина пути от Москвы до Ярославля. К тому времени, как выехал второй автобус, первый успел проехать S. После этого каждый автобус до встречи преодолел расстояние, равное S. Следовательно, автобусы встретились через 2 часа после выезда второго, то есть в 14 часов.

Это рассуждение можно проиллюстрировать (см. рис. 1).

1 способ (аналитический)

Содержание критерия	Баллы
Получен обоснованно верный ответ	6
Установлено, что автобусы сближались на расстоянии, равном 4/5 пути	4
Установлено, что скорость 1/5 пути	3
Установлено, что автобусы двигались с одинаковыми скоростями	2
Во всех остальных случаях	0

2 способ (графический)

Содержание критерия	Баллы
Получен обоснованно верный ответ	6
Рисунок без пояснений, при наличии верного ответа	4
Во всех остальных случаях	0

Второй тур (15 минут; каждая задача – 8 баллов).

2.1 Трое сумасшедших маляров принялись красить пол каждый в свой цвет. Один успел закрасить красным 75% пола, другой зеленым 70%, третий синим 65%. Какая часть пола заведомо закрашена всеми тремя красками?

Решение. Красным цветом НЕ закрашено 25% пола, зеленым цветом НЕ закрашено 30% пола, синим цветом НЕ закрашено 35% пола. 25%+30%+35%=90%. Отсюда следует, что всеми тремя красками ЗАКРАШЕНО не менее 10%, причем есть раскраска, когда закрашено ровно 10%.

Ответ: 10%

Содержание критерия	Баллы
Получен обоснованно верный ответ	8
Установлено, что не закрашено всеми тремя красками 90% пола	6
Установлено, какая часть пола не закрашена каждым цветом	4
Во всех остальных случаях	0

Третий тур (20 минут; каждая задача – 10 баллов).

3.1. Балда договорился с попом отработать на него ровно год и расплатиться щелчками по лбу. Балда предложил, чтобы за каждый отработанный день ему добавлялся один щелчок, а за каждый прогул вычиталось 10 щелчков. Поп же настаивал на более хитром (по его мнению) варианте: за отработанный день начисляется 12 щелчков, а за пропущенный вычитается аж 121 щелчок. По окончании срока выяснилось, что в обоих случаях поп должен получить от Балды одно и то же количество щелчков. Сколько именно?

Ответ: 3 щелчка.

Первый способ. Предположим, что год не високосный. Пусть Балда x дней отработал, а (365 – x) дней прогулял, тогда по своему предложению он будет иметь право на x – (365 – x)10 = 11x – 36510 щелчков, а по предложению попа – на 12x – (365 – x)121 = 133x – 365121 щелчков.

Поскольку в итоге выяснилось, что количество щелчков в обоих случаях одно и то же, то составляем уравнение 11x – 36510 = 133x – 365121. Упростив его, получим: 122x = 365111. Такое уравнение не имеет натуральных решений.

Если же год високосный, то, рассуждая аналогично, получим уравнение 122x = 366111, то есть x = 333. Следовательно, поп должен получить от Балды 333 – (366 – 333)10 = 3 щелчка.

Второй способ. Пусть Балда отработал а дней и прогулял b дней, тогда a – 10b = 12a – 121b. Упрощая это равенство, получим, что 11а = 111b. Поскольку числа 11 и 111 – взаимно простые, то a кратно 111, b кратно 11. Так как а  366, то а может быть равно 111, 222 или 333. Соответствующие значения b: 11; 22; 33. Тогда сумма а + b (количество дней в году) принимает значения 122, 244 и 366 соответственно. Отсюда заключаем, что год был високосным, то есть а = 333, b = 33. Следовательно, попу причитается a – 10b = 333 – 330 = 3 щелчка.

Содержание критерия	Баллы
Получен обоснованно верный ответ	10
Составлено верное уравнение, сделаны верные обоснования, но допущена вычислительная ошибка, которая привела к неверному ответу	8
Составлено верное уравнение, но допущены ошибки в обоснованиях при верном ответе	6
Рассмотрены частные случаи решения задачи	4
Во всех остальных случаях	0

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).

1.2. В треугольнике DEF проведена медиана DK. Найдите углы треугольника, если KDE = 70, DKF = 140. Ответ обоснуйте.

Ответ: 70; 90 и 20.

Так как угол DKF – внешний для треугольника DKЕ, то DЕK = DKF – KDE = 70 (см. рис. 1). Значит, треугольник DKЕ – равнобедренный: DK = EK = FK.

Таким образом, медиана DK треугольника DEF равна половине стороны EF, к которой она проведена, поэтому этот треугольник – прямоугольный: EDF = 90. Следовательно, DFE = 180 – (DЕF + EDF) = 20.

Содержание критерия	Баллы
Получен обоснованно верный ответ	6
Установлено, что треугольник DКF равнобедренный	5
Установлено, что треугольник DКЕ равнобедренный	4
Установлено, что угол DКЕ равен 700	3
Во всех остальных случаях	0

Второй тур (15 минут; каждая задача – 8 баллов).

2.2. Можно ли разрезать квадрат 5´ґ5 на прямоугольники двух видов: 1´ґ4 и 1´ґ3 так, чтобы получилось 7 прямоугольников?

Ответ: да, можно.

2.2. Можно ли разрезать квадрат 5´ґ5 на прямоугольники двух

Решение. Например, см. рис. 3.

Отметим, что количество прямоугольников каждого вида определяется однозначно, а располагать их можно по-разному. Действительно, пусть x – количество прямоугольников 1´ґ4, тогда прямоугольников 1´ґ3 должно быть 7 – x. Уравнение 4x + 3(7 – x) = 25 имеет единственное решение: x = 4.

Содержание критерия	Баллы
Получен обоснованно верный ответ	8
Установлено, сколько каких прямоугольников надо взять	6
Только верный рисунок	4
Только ответ	1
Во всех остальных случаях	0

Третий тур (20 минут; каждая задача – 10 баллов).

3.2. В равнобедренном треугольнике АВС уголВ равен 30, АВ = ВС = 6. Проведены высота CD треугольника АВС и высота DE треугольника BDC. Найдите ВЕ. Ответ обоснуйте.

Ответ: 4,5.

Так как треугольник BDC – прямоугольный и его катет DC лежит напротив угла DBC, который равен 30, то DC = BC (см. рис. 4). Кроме того, DCB = 90 – DBC = 60, значит, в прямоугольном треугольнике CED катет СЕ лежит напротив угла CDE, который равен 30. Следовательно, CЕ = DC = BC. Таким образом, ВЕ = ВС – СЕ = BC = 4,5.

Содержание критерия	Баллы
Получен обоснованно верный ответ	10
Установлено, что ЕC=1,5	8
Найдены углы треугольника DЕC	6
Установлено, что DC=3	4
Во всех остальных случаях	0

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).

1.3. Перед началом чемпионата школы по шахматам каждый из участников сказал, какое место он рассчитывает занять. Семиклассник Ваня сказал, что займет последнее место. По итогам чемпионата все заняли различные места, и оказалось, что каждый, кроме, разумеется, Вани, занял место хуже, чем ожидал. Какое место занял Ваня?

Ответ: первое место.

Так как каждый из школьников (кроме Вани) занял место хуже, чем ожидал, то первое место не занял никто из них. Следовательно, первое место занял Ваня.

Содержание критерия	Баллы
Получен обоснованно верный ответ	6
Установлено, что незанято только 1 место	3
Во всех остальных случаях	0

Второй тур (15 минут; каждая задача – 8 баллов).

2.3 В клетках шахматной доски записаны в произвольном порядке натуральные числа от 1 до 64 (в каждой клетке записано ровно одно число и каждое число записано ровно один раз). Может ли в ходе шахматной партии сложиться ситуация, когда сумма чисел, написанных в клетках, занятых фигурами, ровно вдвое меньше суммы чисел, записанных в клетках, свободных от фигур?

Решение

Рассмотрим сумму всех чисел: 1 + 2 + ... + 63 + 64 = (1 + 64)32 = 6532. Для того, чтобы выполнялось условие задачи, необходимо, чтобы эта сумма была кратна трем, но это невозможно, так как ни 65, ни 32 не делится на 3. Ответ: не может.

Содержание критерия	Баллы
Получен обоснованно верный ответ	8
Установлено, что эта сумма должна быть кратна 3	6
Найдена сумма всех чисел	4
Во всех остальных случаях	0

Третий тур (20 минут; каждая задача – 10 баллов).

3.3. На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду) либо лжец (который всегда лжет). Однажды, все жители острова разбились на пары, и каждый про своего соседа по паре сказал: "Он - рыцарь!", либо "Он - лжец!". Могло ли в итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну

Ответ: нет, не могло. Предположим, что описанная ситуация возможна, тогда, каждая из фраз произнесена по 1234 : 2 = 617 раз. При любом разбиении жителей на пары существует только три возможных вида пар: 1) два рыцаря; 2) два лжеца; 3) рыцарь и лжец. В парах первого и второго вида каждый произнес: «Он – рыцарь!», а в парах третьего вида каждый произнес: «Он – лжец!». Таким образом, каждая из фраз произнесена четное количество раз, что противоречит тому, что их должно быть по 617.

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	10
Установлено, каждая фраза произнесена четное количество раз	8
Установлено, что может быть только 2 вида ответов	6
Установлено, что все жители могут быть разбиты на пары только трех видов	5
Установлено, фраза произнесена 617 раз	4
Во всех остальных случаях	0