Задания - тренажёры для учащихся 9 классов при подготовке к ОГЭ по математике.

1.Около трапеции, один из углов которой равен 49°, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции.

2.Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD=25.

3.Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF=12, BF=5.

4 В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 208. Найдите стороны треугольника ABC.

5.Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=6, AC=24.

6 Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 38°, 78° и 64°.

7 Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.

8 На стороне BC остроугольного треугольника ABC ( AB≠AC ) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=32, MD=8, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

9 В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 92. Найдите стороны треугольника ABC.

10

Площадь прямоугольного треугольника равна 5123√. Один из острых углов равен 30∘. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

11 Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 12 и 15, а основание BC равно 3. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

12

Площадь прямоугольного треугольника равна 8823√. Один из острых углов равен 60∘. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

13

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK:KA=3:4, KM=18.

14.Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=12 и MB=18. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

15.Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 6. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

16 В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 24, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.

17

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 8, а один из острых углов равен 45∘. Найдите площадь треугольника.

18Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=177∘. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.

19.Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 15, а основание равно 18. Найдите площадь этого треугольника.

20.В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 152∘, угол ABC равен 137∘. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

21 Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите AB, если BC=40.

22

Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 7∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

23 Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=19∘ и ∠ACB=160∘. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

24.В треугольнике ABC AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=64 и CH=16. Найдите cosB.

25.Радиус окружности с центром в точке O равен 85, длина хорды AB равна 80 (см рисунок). 26.Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.

27.В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 8. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.

28.Найдите величину угла DOK, если OK — биссектриса угла AOD, ∠DOB=108°. Ответ дайте в градусах.

29.Диагональ прямоугольника образует угол 51∘ с одной из его сторон. Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

30.На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=73∘. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

31.Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите BC, если AB=40.

32.В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 60. Найдите стороны треугольника ABC.

33 В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 6.

 34 Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба.

35.Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=122∘ и ∠ACB=47∘. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

36.Периметр равнобедренного треугольника равен 216, а боковая сторона – 78. Найдите площадь треугольника.

37.В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=88 и BC=BM. Найдите AH.

38.В треугольнике ABC AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=48 и CH=2. Найдите cosB.

39.Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=8 и MB=13. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.