Занимательная математика

Занимательная математика

В клубе ПОЧЕМУЧКА

Учитель МОУ СОШ №1 - Родич Валентина Григорьевна.

Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательным.

Б. Паскаль

Логика Задача 1. Сколько серых мышей у Андрея? У Андрея 100 мышей, некоторые из них белые, некоторые - серые. Известно, что хотя бы одна мышь серая, а из двух мышей хотя бы одна - белая. Сколько серых мышей у Андрея ? (A) 1;   (B) 49;   (C) 50;   (D) 99;   (E) невозможно определить

Вариант 1. Устроим перебор пар мышей так, чтобы одна мышь серая (упомянутая в условии), а другая - какая придется. Из условия следует, что все мыши, которых мы присоединяем к серой - белого цвета. Ответ: (А) (одна мышь серая). Вариант 2. Предположим, что имеются две, или более серых мышей. В этом случае существует, по меньшей мере, пара мышей серого цвета, что противоречит условию. Следовательно, предположение наше ошибочно и в хозяйстве Андрея имеется лишь одна серая мышь, факт существования которой оговорен условием .

Задача 2. Кто сидит рядом с мамой Мари? На скамейке сидит Мари, ее мама, бабушка и кукла. Бабушка сидит рядом с внучкой, но не рядом с куклой. Кукла не сидит рядом с мамой. Кто сидит рядом с мамой Мари ? (A) Мари;   (B) бабушка;   (C) Мари и бабушка;   (D)Мари и кукла;   (E) бабушка и кукла.

С бабушкой, по условию, сидит внучка. То есть остается пристроить куклу и маму. Поскольку кукла не может сидеть рядом с мамой, то кукла и мама сидят по разные стороны от бабушки с внучкой. Остается, что бабушка сидит рядом с мамой. Легко проверить, что эти расположения удовлетворяют условию. Верный ответ - (В).

Задача 3. Что вырастет у рассеянной хозяйки? У рассеянной хозяйки есть три ящика для рассады с надписью "Огурцы","Цветы" и "Ромашки". Она посадила семена ромашек, огурцов и колокольчиков в эти ящики так, что все надписи оказались неверными. Что вырастет в ящике с надписью "Ромашки"? (A) огурцы;  (B) колокольчики;   (C) ромашки;   (D) нельзя определить;   (E) арбузы.

В силу своей рассеянности, хозяйка не могла посадить в ящик с названием "Цветы" ни ромашки, ни колокольчики. Следовательно, она посадила в этом ящике огурцы. Теперь осталось ей посадить ромашки и колокольчики. Для них осталось два ящика с надписями: "Ромашки" и "Огурцы". Но рассеянная хозяйка не посадила ромашки в ящик с названием "Ромашки", как они того они заслуживали, а посадила их в ящик под названием "Огурцы". А колокольчики она посадила в ящик с надписью "Ромашки". Так что в ящике с названием "Ромашки" у нее вырастут колокольчики. Верный ответ - (B).

Задача 4. Сколько существует натуральных чисел? Сколько существует натуральных чисел, меньших 100, которые: а) делятся одновременно на 2 и на 3? б) делятся на 2, но не делятся на 3? в) делятся на 3, но не делятся на 2? г) делятся на 3, или на 2 ( по крайней мере на одно из этих двух чисел)? д) не делятся ни на 2, ни на 3?

а) Среди первых 99-ти натуральных чисел делятся на 2 и на 3, т.е. делятся на 6 [99 : 6] = 16 чисел. б) Чисел, делящихся на 2 (четных), среди первых 99-ти [99 : 2] = 49 . Среди этих чисел есть 16, которые делятся и на 3. Поэтому чисел, которые делятся на 2, но не делятся на 3, в рассматриваемом интервале всего 49 - 16 = 33. в) Чисел, делящихся на 3, в рассматриваемом интервале 99 : 3 = 33. 16 из них делятся также и на 2. Поэтому, чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2, всего 33 - 16 = 17. г) Количество чисел, которые делятся и на 2 или на 3, определим, добавив к 49 четным числам 17 чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2 : 49 + 17 = 66. д) Всего в рассматриваемом интервале 99 чисел, из них 66 делятся либо на 2, либо на 3. Остается 99 - 66 = 33 числа, которые не делятся ни на 2, ни на 3.

Задача 5. Кто ближе к сыру: кошка или мышка?

Когда идет дождь, кошка сидит в комнате или в подвале. Когда кошка в комнате, мышка сидит в норке, а сыр лежит в холодильнике. Если сыр на столе, а кошка - в подвале, то мышка в комнате. Сейчас идет дождь, а сыр лежит на столе.

Тогда обязательно: (A) кошка в комнате;  (B) мышка в норке;  (C) кошка в комнате или мышка в норке;  (D) кошка в подвале, а мышка в комнате.

Сначала поищем, где сидит кошка в этот дождливый день. По условию задачи, она может быть в двух местах: в комнате или в подвале. Но в комнате кошка не может быть, так как сыр не лежит в холодильнике (он лежит на столе). Следовательно, кошка находится в подвале. Итак, нам известно, что сыр лежит на столе, а кошка - в подвале. По условию, в этом случае мышка - в комнате . Верный ответ - (D).

Задача № 6. Какая монета тяжелее ?

Из 60-ти одинаковых по виду монет одна отличается от других по массе. Двумя взвешиваниями на рычажных весах без гирь определить, легче она или тяжелее ?

• Разделим подлежащие проверке монеты на 3 равные группы, одну из которых используем в качестве контрольной.
• При первом взвешивании кладем на чаши весов по 20 монет.
• В случае равновесия, заключаем, что некондиционная монета - в третьей группе.
• Убрав монеты с одной из чаш и поместив туда монеты третьей группы, определим, как соотносятся массы настоящей и фальшивой монет.
• Если при первом взвешивании перевесит одна из чаш, то,
• заменив монеты на этой чаше монетами третьей группы (здесь все монеты настоящие), мы определим, легче ли некондиционная монета настоящей (если чаша с монетами, оставшимися на весах после первого взвешивания, вновь поднимется),
• либо тяжелее (если весы уравновесятся).

Задача № 7. Лидер оппозиции и логика

В парламенте некоторой страны две палаты, имеющие равное число депутатов. В голосовании по важному вопросу приняли участие все депутаты, причем воздержавшихся не было. Когда председатель сообщил, что решение принято с преимуществом в 23 голоса, лидер оппозиции заявил, что результаты голосования сфальсифицированы.

Как это он понял ?

• Общее число депутатов в парламенте - четное (в обеих палатах равное число депутатов).
• Следовательно, четно суммарное число депутатов, голосовавших за принятие решения и против.
• Но при четной сумме двух величин четна и их разность.
• Поэтому, преимущество в 23 голоса (т.е. разность между числом депутатов, голосующих за принятие решения, и числом депутатов, голосующих против)

есть не что иное, как фальсификация

(либо, что менее вероятно, ошибка

при подсчете голосов).

геометрия

Задача 9. Делим квадрат на три части

MNPQ - квадрат со стороной 6 см, А и В - две точки на его средней линии. Ломанные МАР и МВР делят квадрат на 3 части одинаковой площади. Чему равна длина АВ ? (A)  3,6см;     (B)  3,8см; 

  (C)  4см;     (D)   4,2см;   

(E)  4,4см

• Восстановим перпендикуляры из точек А и В. Рассмотрим образовавшийся зеленый прямоугольник.
• Видно, что его площадь равна площади MBPA и следовательно, равна одной трети площади большого квадрата и равна (6 · 6) : 3 = 12 кв.см.
• Высота зеленого прямоугольника

равна 6 : 2 = 3 (см).

Длина его второй стороны АВ равна:

12 кв.см : 3 см = 4 см.

• Верен ответ (C).

Задача о пчелах

Есть кадамба-цветок; На один лепесток Пчелок патая часть опустилась. Рядом тут же росла Вся в цвету симендга, И на ней третья часть поместилась. Разность их ты найди, Ее трижды возьми, На кутай этих пчел посади. Лишь одна не нашла себе места нигде, Все летала то взад, то вперед и везде Ароматом цветов наслаждалась. Назови теперь мне, Подсчитавши в уме, Сколько пчелок всего здесь собралось?

Учиться надо только весело… Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом.

А Франс.