Жакындаштырылган эсептөөлөр

Тема: Жакындаштырылган эсептөөлөр.

1. Сандын жакындатылган мааниси.

2. Сандын жакындатылган маанисинин абсолюттук каталыгы.

3. Сандын жакындатылган маанисинин салыштырмалуу каталыгы.

4. Жакындаштырылган эсептөөлөр.

Чоңдуктардын сандык маанилерин аларды ченөөнүн жыйынтыгында алынышы мүмкүн. Бирок чоңдуктун чыныгы (так) маанисин алуу адатта мүмкүн эмес жана анын ашыгы же кеми менен алынган жакындатылган маанисин алууга болот.

Мисалы, таразага тартуу менен телонун массасы 19 г дан чоң, бирок 21 г дан кичине экендиги белгилүү болду. Айталы m – телонун массасы болсун. Анда 19 m 21 болот; 19 – массанын кеми менен алынган жакындатылган мааниси, ал эми 21 - массанын ашыгы менен алынган жакындатылган маани-си. Массанын сандык маанисинин чектери аныкталды: 19 саны - төмөнкү чеги, 21 саны - жогорку чеги.

Бир чоңдуктун сандык чектерин билүү менен, ага көз каранды болгон башка чоңдуктун маанисин баалоо мүмкүнчүлүгү келип чыгат.

Мисал. 3 х 5 экендиги берилген. чоңдугунун сандык маанисин чамалагыла.

Чыгаруу. Барабарсыздыктын белгилүү касиети боюнча экенди-гин алууга болот. чоңдугунун чектик маанилерин ондук бөлчөктөр менен алмаштырабыз, = 0,2; = 0,333… 0,4 (мында жакындатылган маани ашыгы менен алынган). Анда 0,2 0,4; эгерде 0,3 десек, дин кеми алынган мааниси болот, бул учурда 0,2 0,3, бул чоңдугунун сандык маанисинин чамаланышы болуп эсептелет.

Аныктама. Сандын чектүү сандагы белгиси боюнча ондук бөлчөк көрү-нүшүндө алынган мааниси сандын жакындатылган мааниси деп аталат. Мисалы: 0,375 0,38, бул учурда 0,375 – сандын так мааниси, ал эми 0,38 – сандын жакындатылган мааниси. менен так маанини, ал эми х менен жакындатылган маанини белгилесек, = 0,375, х =0,38

Жакындатылган маанилерди алууда алардын тактыгын кароо маселеси бар, ал алынган жакындатылган маанинин ондук жазылышындагы кайсы белгиге чейин алынгандыгына көңүл бурулат. Мисалы, 3, 14 мында жакындатылган маани экинчи ондук белгиге чейин алынган; е 2, 718 мында жакындатылган маани үчүнчү ондук белгиге чейин алынган; 0, 6666 мында жакындатылган маани төртүнчү ондук белгиге чейин алынган.

Сандын ондук жазылышында анын стандарттык түрү деген түшүнүк бар, мына ушул түшүнүккө аныктама берели.

Аныктама. санынын стандарттык түрү деп анын түрүндө жазылышын аташат, мында 1 10 жана n – бүтүн сан, n санын сандын тартиби деп аташат. Мисалы, 73000 = 7, 10⁴; 0,0026 = 2,6 10^-3.

Аныктама. Сандын так мааниси менен жакындаштырылган маанисинин айырмасынын абсолюттук чоңдугу сандын жакындатылган маанисинин абсо-люттук каталыгы деп аталат. А = , мында А – жакындатылган маани-нин абсолюттук каталыгы, – сандын так мааниси, х – сандын жакындатыл-ган мааниси. Мисалы, 0,3 жакындатылган маанисинин абсолюттук каталыгын эсептейли. = , х = 0,3 маанилери үчүн А = = = = , демек, абсолюттук каталыгы А = .

Эгер жакындатылган абсолюттук катасы кандайдыр бир h санынан ашпа-са, анда ал мааниси h ка чейинки тактык менен алынган жакындаштырылган маани деп аталат. Мисалы, 1,41 саны нин 0,01 ге чейинки тактык менен алынган жакындаштырылган мааниси болуп эсептелет.

Эгер х саны h ка чейинки тактыкта жакындаштырылып га барабар болсо, анда х = h деп жазышат. Бул учурда h санын адатта бир же эки маани берүүчү цифра менен алышат. Мисалы, = 1,73 0,1.

Аныктама. Сандын жакындатылган маанисинин абсолюттук каталыгы-нын анын абсолюттук чоңдугуна болгон катышы жакындатылган маанинин салыштырма каталыгы деп аталат. деп жазсак болот, же болбосо салыш-тырма каталыкты = = деп белгилейбиз. Мисалы 0,3 жакында-тылган маанисинин салыштырма каталыгын эсептейли. Жогоруда берилген эсеп боюнча А = , анда салыштырма каталыгы = = : 0,3 = . Анда салыштырма каталыгы = болот.

Каалаган оң чыныгы санын чектүү же чексиз ондук бөлчөк түрүндө жазууга болот: = + + …+ + …, мында - санынын цифралары ( = 0,1,2,…,9), 0, ал эми l – саны кандайдыр бир бүтүн сан. Мисалы, 523,14… = 5 10² + 2 10¹ + 3 10⁰ + 1 10^-1 + 4 10^-2 + …

санынын жакындатылган мааниси х ти нын ондук жазылышынан айрып бөлүп алып төмөнкүдөй жазууга болот:

х = + + …+ .

х санынын эсептөөнүн ондук позициялык системасында жазылышында кээде сандын башында же аягында ашыкча нөлдөрдү жазууга туура келет.

Аныктама. Сандын жакындатылган маанисинин маани берүүчү цифрасы деп анын ондук жазылышындагы каалаган нөлдөн айырмалуу цифра жана 0 цифрасы аталат, эгер ал маани берүүчү цифралардын арасында турса же он-дук разрядда сакталган өкүл болсо. Мисалы, 0, 2409; 107 .

Аныктама. Сандын жакындатылган маанисинин n алгачкы цифрасы туу-ра деп аталат, эгер сандын жакындатылган маанисинин абсолюттук чоңдугу разряддарды солдон оңго эсептегенде маани берүүчү n – разряддын бирдиги-нин жарымынан ашпаса.

Мисалы, 121,57 122,00.

= 0,43 0,5 10⁰.

0,5 , , – цифралары туура.

Жакындатылган маанилердин үстүнөн жүргүзүлгөн арифметикалык амал-дардын жыйынтыгы кандайдыр бир сандын жакындатылган маанисин билди-рет. Алынган жыйынтыктын каталыгы төмөнкү эрежелердин жардамы менен бааланат:

1. Жакындатылган маанилердин алгебралык суммасынын пределдик аб-солюттук каталыгы кошулуучулардын пределдик абсолюттук каталыкта-рынан ашпайт.

2. Жакындатылган маанилердин суммасынын салыштырма каталыгы ко-шулуучулардын салыштырма каталыктарынын эң чоңу жана эң кичинеси-нин арасында камалган.

Жакындатылган маанилерди кошуу жана кемитүү.

Жакындатылган маанилерди кошууга мисал мисал карайбыз:

1-мисал. х = 12,73 0,01жана у = 3,6381 0,0001 болсун. Буларды төмөнкүдөй кылып жазып алабыз:

12,73 – 0,01 х 12,73 + 0,01;

3,6381 – 0,0001 у 3,6381 + 0,0001.

Барабарсыздыктарды мүчөлөп кошуп, төмөндөгүнү алабыз:

(12,73 + 3,6381) – (0,01 + 0,0001) х+у (12,73 + 3,6381) + (0,01 + 0,0001);

16,3681 – 0,0101 х+у 16,3681 + 0,0101.

Муну төмөнкүдөй көрүнүштө жазып алабыз:

х+у = 16,3681 0,0101.

Мында х+у = h деп белгилесек, анда = 16,3681, h = 0,0101, х тин кошу-луучусу үчүн алынгандай эле, бир маани берүүчү цифрасы менен алабыз. Натыйжада 0,02 санын алабыз, анткени тегеректөөдө каталык ашыгы менен алынат. Эми h тын кичине разряды болуп, жүздүктөр разряды эсептелет. Ошондуктан х+у тин жакындаштырылган маанисин, б.а. 16,3681 санын да жүздүккө чейин тегеректөө керек:

х+у 16,37.

2-мисал. Эгер 8,1956 жана b 2,3 болсо, менен b нын айырма-сынын жакындатылган маанисин тапкыла.

менен b нын айырмасынын жакындатылган маанисин табабыз:

8,1956 - 2,3 = 5,8956.

Бул айырманы ондон бир үлүшкө чейин тегеректейбиз, анткени b нын жакындатылган маанисинде бир ондук белги бар, ал эми нын жакындатыл-ган маанисинде ондукбелгилер көбүрөөк: 5,8956 5,9. Мындан демек,

– b 5,9. Эсептөөнү жөнөкөйлөтүп келсек деле ошол чыгат, 8,1956 8,2; 8,2 – 2,3 = 5,9; андыктан – b 5,9.

3-мисал. х=9,54 0,01 жана у = 7,6 0,1 сандары берилген, бул жакын-датылган маанилердин көбөйтүндүсүн табуу керек.

Берилгендерди төмөнкүдөй жазып алабыз:

9,54 – 0,01 х 9,54 + 0,01,

7,6 – 0,1 у 7,6 + 0,1.

Бул барабарсыздыктарды мүчөлөп көбөйтөбүз:

(9,54 – 0,01)(7,6 – 0,1) ху (9,54 + 0,01)(7,6 + 0,1).

Мындагы амалдарды аткарып төмөнкүнү алабыз:

9,54 7,6 – 1,029 ху 9,54 7,6 + 1,031.

Сол жак бөлүгүндөгү 1,029 кемүүчүсүн андан чоң болгон 1,031 саны менен алмаштырабыз:

9,54 7,6 + 1,031 ху 9,54 7,6 + 1,031.

Мындан төмөнкү жыйынтыкты чыгарабыз:

ху = 9,54 7,6 1,031 же болбосо ху = 70,596 1,031.

4-мисал. Эгер 4,17 жана b 1,6 болсо, менен b нын тийинди-синин жакындатылган маанисин тапкыла.

менен b нын тийиндисинин жакындатылган маанисин эсептейбиз:

4,17 :1,6 = 2,60625.

Бул тийиндини эки маани берүүчү цифрасы сакталгандай кылып тегеректей-биз, анткени b нын маанисинде эки маани берүүчү цифра бар, ал эми нын жакындатылган маанисинде мааниберүүчү цифралар көп: 2,60625 2,6. Демек, : b 2,6.

Эсептөөлөрдү жөнөкөйлөтүү үчүн, адегенде 4,17 жакындатылган маа-нисин эки маани берүүчү цифрасы сакталгандай кылып тегеректөө, андан кийин тийиндинин үч маани берүүчү цифрасын таап, натыйжасын тегерек-төөгө мүмкүн экендигин белгилейбиз: 4.17 4,2; 4,2:1,6 =2,62… 2,6.

: b 2,6.

Жакындатылган эсептөөлөр тамыр чыгарууда, даражага көтөрүүдө, функциялардын маанилерин эсептөөдө, теңдемелер чыгарууда, сандар теориясында, геометрия жана топологияда колдонулат.

Аныктама. Жакындатылган эсептөөнүн жалпы эрежеси менен теория-сы сандык метод деп аталат.

Сандык методдорго төмөнкүлөр кирет: жанымалар методу, натуралдык сандан квадраттык тамыр чыгаруу методу ж. б.

Өз алдынча иштөө үчүн тапшырмалар.

Туюнтманын маанисин тапкыла жана жообун ондукка чейин тегеректегиле, алардын абсолюттук жана салыштырма каталыктарын тапкыла.

№ 1

1. 

2. 63,8·3,12-14,1·7,88

№ 2

1. ; b)

Туюнтманын жакындатылган маанисин тапкыла.

№ 3.

1. 

2. Жогорку маанилер үчүн төмөнкүлөрдүн жакындатылган маанилерин тапкыла: 1) +b; 2) -b; 3) bc; 4) b-c; 5) b:c; 6) b+c;

3. , мында

4. Жогорку маанилер үчүн төмөнкүлөрдүн жакындатылган маанилерин тапкыла: 1) -b; 2) b; 3) bc; 4) b-c; 5) :c; 6) b+c;

№ 4. Амалдарды аткаргыла жана жүздүккө чейин тегеректегиле, маани берүүчү цифраларды көрсөткүлө.

№ 5. Туюнтманын маанисин тапкыла жана жообун ондукка чейин тегеректегиле, алардын абсолюттук жана салыштырма каталыктарын тапкыла.

1. ; b)