Алгебралык жана транспенденттик сандар

Тема: Алгебралык жана трансценденттик сандар.

1. Алгебралык сандар.

2. Трансценденттик сандар.

1. Алгебралык сандар.

Аныктама. Бүтүн коэффициенттүү көп мүчөнүн тамыры боло турган чыныгы сан алгебралык чыныгы сан деп аталат.

Мисалы, рационалдык саны алгебралык сан болот, анткени ал 5х-3 көп мүчөсүнүн тамыры; иррационалдык саны алгебралык сан болот, ал х² - 2 нин тамыры болот.

Теорема -1. Рационалдык сандар - алгебралык сандар болушат.

Теорема -2. Рационалдык сандардын тамыры болуучу иррационалдык сандар – алгебралык сандар болушат.

Далилдөө:

1) = x, = r, – r =0. Демек, саны – r көп мүчөсүнүн тамыры.

2) = x, = - , = ,

= - , - =0.

Демек, саны - көп мүчөсүнүн тамыры.

1. - = 0 теңдемеси бүтүн коэффициенттүү теңдеме болуп эсептелет;

2. + - + … + + = 0 теңдемеси жогорку теңдеменин жайылмасы, мында = m n k.

Рационалдык сандардын тамыры болбогон дагы алгебралык сандар жашайт. Мисалы, х⁵ – х – 1 = 0 теңдемеси радикалдарда чыгарылбайт, бирок бул теңдеме 1 х 2 аралыгында иррационалдык тамырга ээ экендигин байкашкан.

Чыныгы сандардын алгебралык болушуна карата төмөнкүдөй структуралык классификацияларды келтирүүгө болот:

Чыныгы сандар

Чыныгы сандар

Теорема -3. Чыныгы алгебралык сандардын көптүгү санаттык көптүк болуп эсептелет.

Теорема -4. Иррационалдык сандардын көптүгү санаттык эмес көптүк болуп саналат.

Аныктама.

= +

.

.

.

түрүндөгү туюнтма чексиз чынжырлуу бөлчөк деп аталат. Ал ( , , , …, , , …) деп белгиленет.

Теорема -5. Каалаган оң иррационалдык санды чексиз чынжырлуу бөлчөк түрүндө көрсөтүүгө болот, бирок бир гана түрдө.

Далилдөө. 0 саны иррационалдык сан болсун, Дедекинддин кеси-лиши боюнча рационалдык сандардын көптүгүнөн алынган: (R₁; R₂) = , анда , мында R₁, R₂.

нын эң чоң бөлүгү дү ажыратабыз, анда + , 0 1, = саны иррационалдык сан, андыктан = + . ж.б.у.с.

= + , … . = ( , , , …, , , …).

Мисалы, санын чексиз чынжырлуу бөлчөк түрүндө көрсөтөлү.

= 2 + ; = = = + 2 = 2 + + 2 = 4 + .

= 4 бөлүмү чексиз кайталанат, андыктан төмөнкүнү алууга болот:

= 2 +

.

Аныктама. Бүтүн коэффициенттүү көп мүчөнүн тамыры боло албаган чыныгы сан трансценденттик чыныгы сан деп аталат.

Мисалы, , е, lg2, lg3, lg4, lg5, lg6, , .

«Трансценденттик» сөзү латындын transcendens сөзүнөн алынган, «чектен чыгамын» дегенди билдирет.

«Трансценденттик» терминин алгачкы жолу Леонард Эйлер (1707 - 1783) өзүнүн эмгектеринде пайдаланган, андан кийин франсуз математиги Жозеф Лагранж (1736 – 1813) өзүнүн лекцияларында пайдаланган, кийинчерээк швецариялык математик Ламберт И.Г. (1728 – 1777) өзүнүн эмгектеринде карап өткөн.

Сандардын трансценденттүүлүгүн көрсөтүү боюнча бир топ окумуштуу-лар өздөрүнүн изилдөөлөрүн жүргүзүп келишкен.

1882-жылы Кенигсберг университетинин, кийинчерээк Мюнхен универ-ситетинин профессору Фердинанд Линдеман (1852-1939) санынын транс-ценденттүүлүгүн далилдеген.

1873-жылы Париж илимдер Академиясынын мүчөсү e санынын транс-ценденттүүлүгүн ачкан.

Теорема -6. Чыныгы трансценденттик сандардын көптүгү санаттык көптүк болуп эсептелет.

Өз алдынча иштөө үчүн тапшырмалар.

1. sin 10⁰ саны алгебралык сан экендигин далилдегиле.

2. cos 20⁰ саны алгебралык сан экендигин далилдегиле.

3. Бардык lg k түрүндөгү сандар трансценденттик сандар экендигин далилде-гиле, мында k , бүтүн сан жана ондун натуралдык даражаларына барабар эмес.