РФ ДВФО Приморский край
КОНСПЕКТ ФАКУЛЬТАТИВА ПО МАТЕМАТИКЕ
АЛГОРИТМЫ ПИФАГОРОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
геометрическая интерпретация степени квадрата, сумм квадратов, создание алгоритма и универсальных формул, для вычисления всех Пифагоровых троек, и любых последовательностей.
Для 7– 11 классов средних общеобразовательных школ
ИСТОЧНИКИ:
http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yabb2/YaBB.pl?num=1679926767
http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yabb2/YaBB.pl?num=1680166008
https://www.chitalnya.ru/work/3522129/
https://www.chitalnya.ru/work/3523766/
https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2023/04/10/algoritm-dlya-vseh-pifagorovyh-posledovatelnostey
https://www.uchportal.ru/publ/29-1-0-12023
Алексей Владимирович Левченко
Приморский край.
2023 год
Факультатив для учащихся средних школ, по Пифагоровым тройкам.
Цель: закрепление понятий степени числа, в т.ч. в графическом исполнении, суммы квадратов, вывод уравнений для вычисления Пифагоровых троек.
Без корней))
[плакаты обязательны].
1) Если рассматривать квадраты чисел не в качестве соотношений катетов с гипотенузой, а как площади квадратов, составленных из единичных квадратов со стороной 1, можно создать удобный для учеников алгоритм формирования уравнений, для Пифагоровых троек.
2) Смысл метода в том, что любой квадрат, надстраивается единичными квадратами, минимально возможным способом:
к одной стороне надстраиваемого квадрата, присоединяется точно такая же, "у".
И к прилежащей стороне, присоединяется такая же: у + у = 2у
3) Остаётся заполнить одним единичным квадратом вершину, между присоединёнными элементами:
2у + 1, это величина надстройки.
4) Учитывая, что вся надстройка, это весь квадрат-"надстройщик", то
х² = 2у + 1 = у = (х² - 1): 2.
5) Таким образом, минимально возможная надстройка, графически – в виде прямого угла из единичных квадратов.
Значит – сторона надстраиваемого квадрата, увеличится на единицу.
6) В силу правил арифметики, количество единичных квадратов в надстройке, всегда нечётное.
То есть: х² нечётное число, соответственно ′х′– нечётное число.
7) Необходимо разделить х² так, чтобы получились три части – это будут две стороны надстраиваемого квадрата, и плюс один единичный угловой квадрат , вершина надстройки, соединяющий две стороны.
8) Сторона первого квадрата – х; второго квадрата y = (x² - 1): 2; соответственно сторона результата
z = (x² - 1): 2 + 1.
9) [Напоминание из предыдущего факультатива: эти формулы, относительно только одной надстройки, когда х² – минимальная, единственная – и значит нечётная надстройка].
10) Пример:
возьмём любое* нечётное число х, от трёх и выше. Возведём в квадрат: 3²=9, это площадь первого квадрата, она же, величина надстройки для второго квадрата.
11) Вычислим сторону другого квадрата, для этого– вычтем из х² единицу («угловой» квадрат), 9-1=8, получив удвоенную искомую сторону*; поэтому, разделим результат на два 8:2=4.
Готовы две стороны, 3 и 4.
12) Поскольку известно, что одна надстройка, увеличивает сторону квадрата ровно на единицу, то =
воспользуемся формулой y = (x² - 1): 2, из которой следует формула:
z = y + 1 = (x² - 1): 2 +1;
z = (x² - 1): 2 + 1;
z=(9-1):2+1=5.
13) [Или суммировать квадраты, и затем извлечь корень, кому так удобней].
Пифагорова тройка: 3, 4, 5.
14) Если же необходимо увеличить сторону надстраиваемого квадрата не на единицу, а сразу на две, то нужны две подряд надстройки.
Одна надстройка нечётная, значит две надстройки – чётное число.
15) Поэтому икс, основание и сторона первого квадрата, тоже чётное число, как и квадрат – тоже чётный.
Следующая надстройка, всегда больше предыдущей на два: так как её сторона больше на единицу и плюс «свой» угол.
16) Значит надо взять любое чётное натуральное число икс, от четырёх и больше, (основание и сторону первого квадрата), возвести в квадрат, и разделить его на два, ибо надстроек две =
x² : 2.
17) Надстройки отличаются на два, значит от результата надо вычесть единицу [которую можно прибавить ко второй половине, если это зачем-то понадобится, тогда ученикам будет видно,что разница станет ровно два] =
x² : 2 - 1.
Это величина первой, меньшей надстройки.
[x²:2+1, величина второй, большей надстройки].
18) Итак: получив формулу меньшей надстройки, нужно вычесть из неё угловой квадрат, получив удвоенную сторону игрек.
(x² : 2 - 1) - 1 = x² : 2 - 2;
2у = x² : 2 - 2, удвоенная сторона надстраиваемого квадрата.
19) Разделив на два, получим сторону*:
у = (x² : 2 - 2): 2.
20) Поскольку надстроек было две, значит сторона игрек, до стороны зет, увеличена ровно на две единицы:
z = у + 2 = (x² : 2 - 2): 2 + 2.
21) Три примера:
х=4; 4²=16; 16:2=8; 8-2=6; 6:2=3; 3+2=5. Пифагорова тройка 4, 3, 5.
х=6; 6²=36; 36:2=18; 18-2=16; 16:2=8; 8+2=10. Пифагорова тройка 6, 8, 10.
х=8; 8²=64; 64:2=32; 32-2=30; 30:2=15; 15+2=17. Пифагорова тройка 8, 15, 17.
22) В силу правил арифметики, равенства сторон квадрата, все вышеуказанные соотношения, жёстко детерминированы.
Поэтому из формул и примеров следует, что число надстроек, равно:
-- числу, вычитаемому из части квадрата-"надстройщика",
-- разности между настройками,
-- количеству всех вершин – «угловых», единичных квадратов надстроек,
-- каждому делителю квадрата стороны, [квадрата-донора] т. е. х²
-- числу единичных квадратов (единиц), на которые увеличена сторона игрек, до стороны зет.
23) Тогда рассмотренный в п.22 универсальный коэффициент, обозначим символом k.
Исходя из вышеизложенного, можно составить общие формулы.
24) Для нечётных икс, k – нечётное число. Для чётных икс, k – чётное число:
у = (х² : k - k): 2; z = (х² : k - k): 2 + k
25) Рассмотрим примеры:
для х=24;
24²=576; 576:2=288; 288-2=286; 286:2=143; 143+2=145. Тройка 24, 143, 145.
24²=576; 576:4=144; 144-4=140; 140:2=70; 70+4=74. Тройка 24, 70, 74.
24²=576; 576:6=96; 96-6=90; 90:2=45; 45+6=51. Тройка 24, 45, 51.
24²=576; 576:8=72; 72-8=64; 64:2=32; 32+8=40. Тройка 24, 32, 40.
24²=576; 576:12=48; 48-12=36; 36:2=18; 18+12=30. Тройка 24, 18, 30.
24²=576; 576:16=36; 36-16=20; 20:2=10; 10+16=26. Тройка 24, 10, 26.
24²=576; 576:18=32; 32-18=14; 14:2=7; 7+18=25. Тройка 24, 7, 25.
для х=45;
45²=2025; 2025:1=2025; 2025-1=2024; 2024:2=1012; 1012+1=1013.
Тройка 45, 1012, 1013.
45²=2025; 2025:3=675; 675-3=672; 672:2=336; 336+3=339.
Тройка 45, 336, 339.
45²=2025; 2025:5=405; 405-5=400; 400:2=200; 200+5=205.
Тройка 45, 200, 205.
45²=2025; 2025:9=225; 225-9=216; 216:2=108; 108+9=117.
Тройка 45, 108, 117.
45²=2025; 2025:15=135; 135-15=120; 120:2=60; 60+15=75.
Тройка 45, 60, 75.
45²=2025; 2025:25=81; 81-25=56; 56:2=28; 28+25=53.
Тройка 45, 28, 53.
45²=2025; 2025:27=75; 75-27=48; 48:2=24; 24+27=51.
Тройка 45, 24, 51.
Тройки для х = 231:
231, 26680, 26681
231, 8892, 8895
231, 3808, 3815
231, 2960, 2969
231, 2420, 2431
231, 1260, 1281
231, 792, 825
231, 520, 569
231, 392, 455
231, 308, 385
231, 220, 319
231, 160, 281
231, 108, 255
Учитывая алгоритм и формулы вычисления Пифагоровы троек,
нетрудно делать вычисления не только всех возможных Пифагоровых троек, четвёрок, но и всех возможных Пифагоровых n наборов.
По причине простоты и доступности метода детям, он так же приемлем для изучения на факультативах в средней школе, с седьмого класса.
Алгоритм всё так же предусматривает задание любого чётного или нечётного икс, как первой переменной.
От него, вычисляем игрек. Потом зет.
Таким образом, первые две переменные, дают в сумме «новый икс», а третья по счёту переменная, начинает играть роль «нового игрека».
То есть: любая Пифагорова четвёрка, сокращается до тройки, считаем и её, а далее – алгоритм повторяется, если считаем уже пятёрки, шестёрки и прочие последовательности сумм любых натуральных квадратов.
В итоге, всё равно каждую итерацию, считаем тройки.
*24) Для нечётных икс, k – нечётное число. Для чётных икс, k – чётное число:
у = (х² : k - k): 2; z = (х² : k - k): 2 + k
a² + b² + c² = d²
Зададим х=3 (или a=3, не суть)
Тогда:
3²=9; 9:1=9; 9-1=8; 8:2=4; 4+1=5; [пять – это «новый икс», пусть будет Х₂].
#Х₂=5; 5²=25; 25:1=25; 25-1=24; 24:2=12; 12+1=13; [12 это «с», 13 это «d»]
Пифагорова четвёрка: 3, 4, 12, 13
х=9;
1) 9²=81; 81:1=81; 81-1=80; 80:2=40; 40+1=41;
# Х₂=41; 41²=1681; 1681:1=1681; 1681-1=1680; 1680:2=840; 840+1=841;
= 9, 40, 840, 841
2) 9²=81; 81:3=27; 27-3=24; 24:2=12; 12+3=15;
# Х₃=15; 15²=225; 225:1=225; 225-1=224; 224:2=112; 112+1=113;
= 9, 12, 112, 113;
# Х₄=15; 15²=225; 225:3=75; 75-3=72; 72:2=36; 36+3=39;
= 9, 12, 36, 39;
# Х₅=15; 15²=225; 225:5=45; 45-5=40; 40:2=20; 20+5=25;
= 9, 12, 20, 25;
# Х₆=15; 15²=225; 225:9=25; 25-9=16; 16:2=8; 8+9=17;
= 9, 12, 8, 17;
х=8
8²=64; 64:2=32; 32-2=30; 30:2=15; 15+2=17;
# Х₂=17; 17²=289; 289:1=289; 289-1=288; 288:2=144; 144+1=145;
= 8, 15, 144, 145;
# Х₃=10; 10²=100; 100:2=50; 50-2=48; 48:2=24; 24+2=26;
= 8, 6, 24, 26.
--Любые решения любых сумм квадратов, будут всегда расположены в поле результатов Пифагоровых троек.
-- Метод обеспечивает расчёт всех возможных троек, и любых последовательностей, для любого натурального значения переменной икс;
-- Для значений икс, больше трёхзначных, нужен аппаратно-программный подход, так как количество делителей становится велико в общем случае, и машинный перебор последовательных операций деления, кардинально сэкономит время;
-- Троек Пифагора, где оба слагаемых нечётные, не существует в принципе.
58
221 901 
