Анализ 10 типичных ошибок на примерах заданий ЕГЭ

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА "СОЗВЕЗДИЕ ВЕНТА"

• Анализ 10 типичных ошибок на примерах заданий ЕГЭ

Новикова Светлана Николаевна

учитель математики

• Совет учиться на ошибках других бесполезен; научиться чему-либо можно только на собственных ошибках.
•  

• Б. Шоу
•  

Профильный уровень

№

%

1

2

90%

Типичные ошибки

3

95%

Неумение читать условие и непонимание процентов

88%

4

Невнимательное чтение условия и непонимание единиц измерения

Невнимательное чтение условия

89%

5

6

Невнимательное чтение условия

91%

65%

Ошибки в свойствах степеней

7

Непонимание математической записи угла и неверное чтение чертежа

54%

8

Невнимательное чтение условия

57%

9

Отсутствие базовых пространственных представлений и знаний соотношений

47%

10

11

Ошибки в определении знака тригонометрической функции

65%

Невнимательное чтение условия или непонимание текста

36%

12

Невнимательное чтение условия

38%

Непонимание алгоритма исследования функции с помощью производной

13

36%

14

Неумение и небрежность отбора корней тригонометрического уравнения с помощью единичной окружности

6%

15

Неумение доказывать, непонимание взаимосвязи элементов геометрической конструкции, ошибки в теоретических фактах

15%

16

17

3%

Невнимательное чтение математической записи неравенства, непонимание алгоритма решения совокупностей и систем логарифмических неравенств, забыт знаменатель при решении дробно-рационального неравенства, небрежность при изображении множества решений на координатной прямой

Неверное понимание логики построения доказательства, ошибки в построении чертежа

11%

18

Неверное составление модели задачи ( непонимание взаимосвязи величин) и вычислительные ошибки

3,5%

19

Недостаточная сформированность графического метода решения – отсутствие объяснений и обоснований, отсутствие ответа на поставленный вопрос

3,5%

Непонимание того, что на вопрос «Может ли…?» нужно давать аргументированное решение, а не ответ «да» или «нет»

Базовый уровень

• Основные факторы, вызывающие ошибки:

• недостаточный уровень понимания условия при чтении задания,

• вычислительные ошибки ,

• недостаточная развитость наглядных геометрических представлений.
•  

Задание 1 — применение математических знаний в повседневной жизни

• Ошибки:  арифметические просчёты, неправильное округление чисел. Школьники часто путаются, в большую или меньшую сторону нужно округлить полученный ответ. Рассмотрим примеры.
• Задача 1.   Сырок стоит 7 рублей 20 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 60 рублей?
• Решение.  Поделив 60 на 7,2, мы получим 8 целых и 1/3. Мы можем купить только 8 сырков, поскольку на 9 сырков не хватает денег. Поэтому производим округление в меньшую сторону — его ещё называют  округлением с недостатком .
• А вот другой пример.
• Задача 2.   В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 1200 листов. Какого наименьшего количества пачек бумаги хватит на 4 недели?
• Решение.  За 4 недели будет израсходовано 4 · 1200 = 4800. Так как в пачке 500 листов, нам потребуется 4800/500 = 9,6 пачек бумаги. Но здесь уже нужно округлять в большую сторону, то есть правильный ответ 10. Мы  округлили с избытком.

Задание 2 — работа с графиком, построенным по некоторым данным

• Ошибки: невнимательное чтение условий.
• Задача. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наименьшую температуру воздуха 28 мая. Ответ дайте в градусах Цельсия.

• Решение. Необходимо обращать внимание на ключевые слова: наибольшее или наименьшее , а также на день , в который требуется определить искомое значение. Многие ученики просто берут самую нижнюю точку графика и пишут в ответе «3». Однако в условии задачи нужно найти наименьшую температуру именно 28 мая! А значит, правильный ответ 5.

Задание 3 — действия с геометрическими фигурами

• Ошибки: в задачах с окружностями.
• В этом типе задач, как правило, требуется найти площадь, периметр, расстояние или градусную меру угла. Важно помнить формулы площадей основных геометрических фигур: квадрата, треугольника, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба и круга.
• Задача 1. На клетчатой бумаге с размером 1×1 изображена окружность и вписанный в неё острый угол. Найдите градусную меру дуги окружности, на которую опирается этот угол. Ответ дайте в градусах.

• Решение. Для решения этой задачи нужно знать теорему о связи градусной меры вписанного и центрального угла, опирающихся на одну дугу. В нашем случае центральный угол, опирающийся на нужную дугу (выделен зелёным цветом), равен 45°. Поскольку величина дуги измеряется величиной её центрального угла, то это и есть ответ.

• Задача 2. На клетчатой бумаге изображен круг. Какова площадь круга, если площадь закрашенного сектора равна 32?

• Решение. Несложно заметить, что угол, смежный с центральным углом, изображенным на рисунке, равен 60°, поскольку его косинус равен ½. Значит, закрашенный центральный угол равен 180° — 60° = 120°. Поскольку в полном обороте 360°, то искомый ответ в три раза больше площади указанного сектора. То есть площадь круга равна 96.

Задание 4 — теория вероятности

• Ошибки: невнимательное чтение условий.
• Задача. На экзамен вынесено 60 вопросов, Тимур не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный вопрос.
• Решение. Очевидно, Тимур выучил 57 вопросов, а значит, искомая вероятность равна 57/60 = 0,95.
• Многие ученики вместо этого делят 3 на 60 и получают ответ 0,05, то есть высчитывают вероятность того, что Тимуру попадётся невыученный билет.

Задание 5 — простейшее уравнение

Ошибки: не учесть ОДЗ уравнения.

• Задача. Решите уравнение
• Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
• Решение. Такое иррациональное уравнение решается возведением обеих его частей в квадрат. Тут-то и кроется ошибка. Такое возведение не является равносильным, а значит, могут появиться посторонние корни. Впрочем, их легко обнаружить. Корни квадратного уравнения, полученного после возведения обеих частей уравнения в квадрат, равны x = -6, x = 1. Очевидно, положительный корень нам не подходит, так как правая часть исходного уравнения будет отрицательной. Значит, ответом на задачу является число -6.
• Обратите внимание на вопрос в условии задачи: требуется указать больший корень. Часто ученики, найдя два корня и даже не сделав проверку , сразу записывают больший корень, который является посторонним.

Задание 6 — планиметрическая задача

Ошибки: в задачах с окружностями.

• Видов этого задания очень много, но все они базируются на основных понятиях и теоремах геометрии.
• Задача. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

• Решение. В этой задаче проверяется знание свойств вписанных углов. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. В нашем случае на дугу CD опираются два вписанных угла CAD и CBD. Значит, угол
• ABC = ABD + CBD = 75° + 35° = 110°.

Задание 7 — производная функции

• Ошибки: спутать график самой функции и её производной; забыть учесть отрезок, на котором нужно искать ответ.
• В этом задании проверяется наличие базовых знаний о производной: точки экстремума (минимума и максимума), а также геометрический и физический смысл производной.
• Рассмотрим два примера.
• Задача 1 . На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (-6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x) положительна.

• Решение. Нам даётся график самой функции y = f(x). Производная положительна там, где функция возрастает. Целые точки, лежащие на участках возрастания, это -2, -1, 5, 6. Значит, правильный ответ 4.

В следующей задаче уже даётся график производной, а также указан отрезок, на котором требуется найти количество точек максимума.

• Задача 2. На рисунке изображен график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-6; 9].

• Решение. Точка максимума — это такая точка, в которой производная равна нулю либо не существует и при переходе через неё меняет знак с + на -.
• В нашем случае на отрезке [-6; 9] находится единственная точка максимума x = 7. Обратите внимание: ответом является число 1, так как требуется указать количество точек максимума.
• Будьте внимательны — в этой задаче можно совершить целых три ошибки :
• • спутать функцию и её производную;
• • не учесть заданный отрезок;
• • указать саму точку, а не их количество.

Задание 8 — стереометрическая задача

• Ошибки: невнимательное чтение условий, арифметические ошибки.
• Задача 1. Найти площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

• Решение. В задаче требуется найти площадь поверхности многогранника. Имеем
• S = (1 · 3) · 2 + (2 · 1) · 2 + (1 · 3) · 2 + (1 · 1) · 2 = 6 + 4 + 6 + 2 = 18.
• А вот следующая задача.
• Задача 2. Найти объём многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
• Решение. Искомый объём найдём как сумму объёмов прямоугольного параллелепипеда со сторонами 1, 1, 3 и куба со стороной 1. Имеем
• V = 1 · 1 · 3 + 1 · 1 · 1 = 4.

Задание 9 — вычисления и преобразования

• Ошибки: в тригонометрических задачах.
• Здесь требуется найти значение некоторого математического выражения, как правило, показательного, логарифмического, алгебраического или тригонометрического. С последним типом выражений школьники обычно справляются хуже всего. Необходимо обязательно знать основные тригонометрические тождества, формулы приведения, табличные значения и знаки тригонометрических функций по четвертям.
• Задача. Найдите значение выражения

• Решение. Применим формулу для косинуса двойного угла, а также формулы приведения, получим:

Задание 10 — применение математических знаний в повседневной жизни

• Ошибки: арифметические.
• Как правило, от ученика требуется подставить все указанные в задаче значения в формулу и решить уравнение или неравенство.
• Задача. Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб. за ед.) задаётся формулой q = 100 — 10p. Выручка предприятия r (в тыс. руб. за месяц) вычисляется по формуле r(p) = q · p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 240 тысяч рублей. Ответ дайте в тысячах рублей за единицу.
• Решение. Составим выражение для выручки r(p) = (100 — 10p) · p.
• Решив неравенство (100 — 10p) · p ≥ 240, находим p ∈ [4; 6].
• Таким образом, наибольшее значение цены равно 6.

Задание 11 — текстовые задачи

• Ошибки: арифметические просчёты, неправильно составленное уравнение, невнимательное чтение условий задачи.
• Здесь могут встретиться задачи на движение, работу, концентрацию, проценты и арифметическую прогрессию.
• Задача. Товарный поезд каждую минуту проезжает на 750 метров меньше, чем скорый, и на путь в 180 километров тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.
• Решение. Начнём с перевода единиц измерения: 750 м/мин = 45 км/ч. Пусть скорость товарного поезда равна x км/ч. Тогда скорость скорого поезда равна (x+45) км/ч. Так как на путь длиной 180 километров товарный поезд тратит на 2 часа больше, то имеем уравнение: 180/x = 180/(x+45) + 2.
• Решив уравнение, находим x = 45.
• Мы не рассматриваем отрицательный корень нашего уравнения x = -90, поскольку скорость в таких задачах считается положительной величиной.

Задание 12 — производная функции

• Ошибки: неправильное вычисление производной сложной функции, производной произведения и частного; невнимательное чтение условий.
• Часто ученики путают точку минимума/максимума и минимальное/максимальное значение функции. Рассмотрим задачи.
• Задача 1. Найдите наименьшее значение функции
• на отрезке [6; 8].
• Решение. В задаче нужно найти наименьшее значение. Для этого следует вспомнить алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
• Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значение функции y = f(x) на отрезке [a; b].
• 1. Находим производную исходной функции y = f(x);
• 2. приравниваем найденную производную к нулю и находим критические точки, принадлежащие заданному отрезку;
• 3. сравниваем значение функции на концах отрезка и в найденных критических точках и выбираем наименьшее и наибольшее значения.
• В результате наименьшее значение функции равно -1, достигается в точке минимума
• x = 7.

• Задача 2. Найдите точку минимума функции

• Решение. Для нахождения точек экстремума (минимума и максимума) применяем следующий алгоритм:
• 1. Находим производную исходной функции y = f(x);
• 2. приравниваем найденную производную к нулю и находим критические точки, принадлежащие заданному отрезку;
• 3. в критических точках, где производная меняет знак с минуса на плюс, имеем точку минимума; в точках, где знак меняется с плюса на минус, имеем точку максимума.
• В нашем примере производная равна нулю при x = -17 и меняет знак при переходе через эту точку с минуса на плюс. Значит, x = -17 — искомая точка минимума.

• Также нельзя забывать о случаях, когда производная всегда положительна либо отрицательна.
• Задача 3. Найдите наименьшее значение функции

• на отрезке [-3π/2; 0].
• Решение. Производная такой функции всегда отрицательна, а значит, функция убывает. Убывающая функция принимает своё наименьшее значение на отрезке на правом конце, а значит, правильный ответ y(0) = 9.
• Если функция y = f(x) убывает (возрастает) на отрезке [a; b], то
• • в точке x = a достигается наибольшее (наименьшее) значение;
• • в точке x = b достигается наименьшее (наибольшее) значение.

Задачи на проценты – непонимание механизма начисления процентов.

• В большинстве случаев причина ошибок – непонимание сущности процента. Например, если в условии сказано, что цена товара сначала была повышена на 25%, а затем понижена на 25%, то эти проценты не будут одной и той же суммой денег, т.к. база начисления этих процентов разная.

• Пример:

• При решении этого задания 6% участников экзамена посчитали, что если цена была повышена на 25%, то для нахождения старой цены нужно новую цену понизить на 25%. В действительности же новая цена составляет 125% от старой цены, а узнать нужно, сколько рублей соответствуют 100%.
• В более сложной экономической задаче требуется понимание механизма начисления простых и сложных процентов, обоснованное применение формул, выбор правильного способа решения. Типичные ошибки здесь связаны с неверным составлением модели задачи, непониманием взаимосвязи величин, непониманием того, что важен не только ответ, но и способ решения задачи.

Невнимательное чтение условия.

• К сожалению, это самая распространенная ошибка согласно анализу типичных ошибок ЕГЭ, проведенному ФИПИ.
• Конечно, многое здесь можно списать на волнение и психологическое напряжение. Даже самые подготовленные ученики на экзамене могут растеряться, переволноваться или поспешить в решении более простых заданий. Однако факт остается фактом, и при подготовке к экзаменам на него нужно обратить внимание.

• Примеры:

• Почти 24% участников экзамена указали количество точек, в которых значение функции (а не ее производной) положительно, а еще около 2% участников пытались перечислить номера точек, в которых производная принимает положительное значение.

• Около 2,5% участников экзамена нашли вероятность выбора подтекающего насоса, не обратив внимания на частицу «не» в условии.

Практико-ориентированные задания базового и повышенного уровня – непонимание текста задачи.

• Кроме ошибок, связанных с невнимательным чтением условия, на первое место здесь выходит непонимание текста задачи, незнание единиц измерения величин, неумение работать с формулами. Многие выпускники даже не приступают к технически не сложным практико-ориентированным задачам повышенного уровня.

• Пример:

• Выполнение задания – около 57%. Отмечается, что 8% участников не дали никакого ответа; 6% решили, что чем ближе, тем лучше; 4% решили, что лампочку нужно поместить в середину разрешенного интервала, а еще 4,5% решили, что самый главный параметр – это фокус.

Вычислительные ошибки.

•  
• Привычка вычислять все с помощью калькулятора, вплоть до таблицы умножения и действий с круглыми числами доставляет учащимся немало проблем на экзамене.
• Отсутствие навыков быстрого счета в уме или на бумаге часто приводит к тому, что участники экзамена допускают грубые ошибки в элементарных примерах.
• «Слабые» места многих старшеклассников – это дроби, отрицательные числа, элементарные преобразования выражений, т.е. проблемы, накопившиеся с 5 класса.

Ошибки в теоретических фактах.

• Незнание необходимых для решения задач теоретических фактов, как по алгебре, так и по геометрии, существенно снижает процент выполнения большинства заданий как базового, так и повышенного уровня сложности.

• Примеры:

• Около 8% выпускников не дали никакого ответа; 38% ошиблись в формуле боковой поверхности конуса, а еще 12% в формуле его объема. Отмечается, что процент выполнения этого задания существенно ниже, чем, например, формально гораздо более сложного задания с полным решением на решение уравнения и осуществление отбора корней. Это означает, что низкий процент выполнения заданий по стереометрии вызван именно существенными проблемами в ее преподавании.

• В задании 5 проверялось умение решать показательные и логарифмические уравнения. Из семи процентов выпускников, не справившихся с заданием, 2% ошиблись в свойствах степеней.

Незнание алгоритмов и методов решения.

• Знание алгоритмов и методов решения проверялось во многих заданиях экзаменационной работы. Например, в задании 12 требовалось продемонстрировать понимание алгоритма исследования функции с помощью производной, а в заданиях 5,13,15 знание общих и частных методов решения уравнений и неравенств.

• Пример:

• Ненулевые баллы получило около 15% участников экзамена. Типичные ошибки связаны с невнимательным чтением математической записи неравенства, непониманием алгоритма решения совокупностей и систем логарифмических неравенств. Очень много ошибок при решении дробно-рационального неравенства (забыт знаменатель).

Неверное чтение чертежей, непонимание взаимосвязи элементов геометрической конструкции, отсутствие базовых пространственных представлений, ошибки в построении чертежа.

В преподавании геометрии очень важным является не только умение решать вычислительные задачи с геометрическим содержанием (по формулам), но и формировать геометрические представления о фигурах (телах). При отсутствии базовых пространственных представлений сложно ожидать высокого процента выполнения стереометрического задания с полным решением.

• Пример:

• Отмечается, что около 10% участников экзамена при решении этой задачи неверно определили углы по их записи (перепутали буквы или не понимают, какая из букв в записи угла соответствует его вершине). Около 5% участников «увидели» прямоугольный треугольник ACD, а еще 3% - равносторонний треугольник ABD.
• Процент выполнения экзаменующимися геометрических заданий традиционно ниже, чем процент выполнения заданий алгебраических. В целом при решении геометрических задач более половины выпускников продемонстрировали отсутствие знания взаимосвязей элементов геометрической конструкции и соотношений между величинами пространственных фигур.

Неумение доказывать, обосновывать.

К заданиям повышенного уровня относились задания второй части 14 (стереометрия) и 16 (планиметрия) с развернутым ответом. Оба задания содержали два пункта. В первом пункте задание доказать, а во втором пункте вычислить. Основной проблемой оказалось выполнение первого пункта. Участники экзамена продемонстрировали неумение доказывать. При этом много встречается различного рода логических ошибок. Наибольшие затруднения участники испытывали при оформлении доказательства.

• Пример:

• Типичные ошибки связаны с непониманием логики построения доказательства. Например, доказательство начинается так: «Пусть точка О является серединой отрезка СК…». Т.е. в начале доказательства уже допускается факт, который и требуется доказать.

Задания 18 и 19 высокого уровня сложности предназначены для конкурсного отбора в ВУЗы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов.

• Это задания на комбинацию различных методов. Для успешного их выполнения, кроме прочих математических знаний, необходим высокий уровень математической культуры, который предполагает, в частности, умение обосновывать выбранные методы и способы решения.

• Примеры:

• Ненулевые баллы при решении этого задания получило около 17% участников экзамена. Многие выпускники попробовали исследовать несколько примеров, а потом обобщить полученный результат. Типичным заблуждением для многих оказалось, что на вопрос «Может ли?» нужно давать аргументированное решение, а не качественный ответ «да» или «нет».

• Ненулевые баллы при решении этого задания получило около 3% участников экзамена. Основной проблемой оказалось применение графического метода, который, как показали работы участников экзамена, не достаточно сформирован. Без объяснений и обоснований на координатной плоскости отмечаются графики, и считывается множество значений параметра. Во многих случаях на координатной плоскости обозначено много верных объектов, а ответа на поставленный вопрос так и не последовало.

Задания по тригонометрии требуют тщательности решения.

• Представленные в экзаменационной работе задания по тригонометрии не относятся к числу самых сложных, однако их выполнение требует тщательности решения, аккуратности, внимания, знания большого количества теоретических фактов и умения их применять на практике.

• Примеры:

• Выполнение задания – около 34%. Типичные ошибки связаны в первую очередь с определением знака тригонометрической функции – почти 12% участников экзамена потеряли знак «минус». Еще 22% решили, что ответ ожидается «хорошим» - 1 или 2.

• Задание 13 проверяло умение решать тригонометрические уравнения и производить отбор корней. Основной проблемой первого пункта оказалось неумение вводить новую переменную (ошибки в свойствах степеней), незнание формул решения простейшего тригонометрического уравнения. При выполнении второго пункта участники продемонстрировали неумение или небрежность отбора корней.

Отсутствие навыков математического моделирования.

• Способность к построению и исследованию простейших математических моделей проверяется в заданиях 11 (текстовая задача) и 17 (текстовая задача с экономическим содержанием).
• Текстовые задачи, как правило, являются стандартными задачами на составление уравнений курса алгебры 8 класса.
• В экономической задаче требуется верно построить математическую модель и исследовать ее. Важную роль при этом играет сюжетная, практико-ориентированная часть условия.
• При составлении математических моделей основные ошибки являются следствием непонимания взаимосвязи величин.
• Так, например, в задачах на движение около 10% участников экзамена продемонстрировали непонимание движения по реке – собственную скорость умножили на время движения.