Банк заданий по математике для подготовки к тестированию. Тема модуля: «Множества. Комбинаторика»

1.1

Запишите на символическом языке соотношения между множествами.

1.2

Пусть А – множество натуральных чисел, кратных 5 и В – множество натуральных чисел, кратных 10. Запишите любые шесть чисел, принадлежащих множеству А и шесть любых чисел, принадлежащих множеству В.

А: В:

1.3

Пусть С – множество чисел кратных 9 и D – множество чисел, кратных 3. Какое соотношение связывает эти множества?

Заполните пропуски в предложении:

Если число делится на , то оно делится и на , но из того что число делится на , не следует, что оно делится на .

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.1

Покажите штриховкой множества АВ; АВ.

2.2

На схеме прямоугольник изображает всех учащихся 6 класса, круг Ч – те, кто любит чёрный шоколад, а круг Б – тех, кто любит белый шоколад. Штриховкой выделено некоторое подмножество этих шестиклассников. Поставьте в соответствие каждому рисунку соответствующее описание выделенного множества.

1. Те, кто не любит ни чёрный, ни белый шоколад.

1. Те, кто любит и чёрный и белый шоколад.

1. Те, кто любит какой- нибудь один вид шоколада: или чёрный или белый.

1. Те, кто любит белый и не любит чёрный шоколад

Пусть множество А содержит m элементов, а множество В содержит n элементов. Какое условие должно выполняться, чтобы множество АВ содержало m+n элементов?

Ответ:

2.6

2.7

3.1

На схеме отражены результаты опроса учащихся 6 классов об их отношении к детективной литературе и фантастике. Прямоугольник отображает всех учащихся 6 класса, круг Д – множество учащихся, любящих детективы, круг Ф – шестиклассники, любящие фантастику.

Ответьте на вопросы:

1. Сколько учеников не читают ни детективы, ни фантастику?

2. Сколько шестиклассников любят детективы, но не читают фантастику?

3. Сколько шестиклассников любят читать и детективы и фантастику?

4. Сколько учащихся любят фантастику и не любят детективы?

5. Сколько учащихся увлекается хотя бы одним из указанных видов литературы?

6. Сколько учащихся всего было опрошено?

3.2

На схеме с помощью кругов Эйлера отражено участие девятиклассников одной из школ в городских олимпиадах по математике (круг М), по литературе (круг Л) и по английскому языку (круг А).

Ответьте на вопросы:

1. Сколько девятиклассников участвовало в олимпиаде по математике?

1. Сколько учащихся участвовало в олимпиадах по математике и по английскому языку?

2. Сколько учащихся участвовало в олимпиадах по литературе и английскому языку?

3. Сколько учащихся участвовало в какой-нибудь одной из трёх олимпиад?

1. Сколько учащихся участвовало в каких-либо двух олимпиадах?

2. Сколько учащихся участвовало во всех трёх олимпиадах?

3. Сколько всего девятиклассников приняло участие в олимпиадах?

4. Сколько учащихся не участвовали в олимпиадах, если всего в девятых классах этой школы учатся 60 учеников?

3.3

Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским – 28, французским – 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским - 10, немецким и французским – 5, всеми тремя языками – 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком?

3.4

В ясельной группе 11 деток любят манную кашу, 13 – гречневую и 7 малышей – перловую. Четверо любят и манную, и гречневую, 3 – манную и перловую, 6- гречневую и перловую, а двое с удовольствием «уплетают» все три вида каши. Сколько детей в этой группе, если в ней нет ни одного ребёнка, вовсе не любящего кашу?

3.5

В одной семье было много детей. 7 из них любили капусту, 6 – морковь, 5 – горох, 4 – капусту и морковь, 3 – капусту и горох, 2 – морковь и горох, 1 – и капусту, и морковь, и горох. Сколько детей было в семье?

3.6

В группе 29 студентов. Среди них 14 любителей классической музыки, 15- джаза, 14 – народной музыки. Классическую музыку и джаз слушают 6 студентов, народную музыку и джаз – 7, классику и народную – 9. Пятеро студентов слушают всякую музыку, а остальные не любят никакой музыки. Сколько их?

4.1

Используя цифры 1, 2, 0 составьте все двузначные числа. В ответе расположите в порядке возрастания через точку с запятой.

4.2

Сколько различных костюмов можно составить, если имеются три юбки и два пиджака (все юбки подходят к пиджакам по цвету и размеру)?

4.3

Из села Мирное в село Восточное ведут две дороги, а из села Восточное в село Таежное ведут четыре дороги. Сколько путей ведут от села Мирное к селу Таежному, если ехать через село Восточное?

4.4

Каждый из 15 городов некоторого государства соединен с остальными городами авиалинией, которую обслуживает один самолет. Сколько самолетов обслуживают авиалинии этого государства?

4.5

Чтобы пройти в замок, надо открыть четыре замка. У рыцаря есть 4 ключа от этих замков, но какой ключ подходит к какому замку, он не знает. Какое наибольшее число попыток может понадобиться, чтобы открыть все замки?

4.6

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 3, 5, 7, 9 при условии, что:

а) цифры могут повторяться;

б) цифры не должны повторяться; в) цифры будут четными.

4.7

У Атоса, Портоса и Арамиса есть шпага, арбалет и пистолет. а) Сколькими способами можно вооружить мушкетеров?

б) Сколько существует вариантов вооружения, если шпагой должен владеть Арамис?

в) Сколько существует вариантов вооружения, если шпагой должен владеть Арамис, а пистолетом Портос?

4.8

Запишите все возможные четырёхзначные числа, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, используя каждую цифру только один раз.

4.9

Продаются хризантемы трех цветов: белые, сиреневые, желтые. Катя выбирает две хризантемы разных цветов. Сколько различных вариантов выбора есть у

Кати?

4.10

Соня должна одеть маленького брата, у которого 6 ползунков и 5 распашонок. Сколько различных вариантов выбора есть у Сони?

4.11

Из цифр 3, 4, 5, 6 составляют всевозможные двузначные числа. Сколько всего

таких чисел получится?

4.12

Решите задачу, выполнив перебор всех возможных вариантов:

Оля, Катя, Лена и Надя на занятиях в спортивной секции должны по очереди выполнить упражнения на брусьях. Сколько у них имеется вариантов установки очерёдности?

Ответьте на вопросы: Сколько всего вариантов когда:

1. Катя вторая?

2. Оля последняя?

3. Надя не последняя?

4. Лена не первая?

5. Оля и Катя выступают друг за другом?

4.13

Сколько словарей необходимо переводчику, чтобы он мог непосредственно переводить с любого из четырёх языков – русского, английского, немецкого, французского – на любой другой из этих языков?

Решение: обозначьте языки буквами: Р, А, Н, Ф. тогда каждый словарь можно закодировать словом из двух букв.

Ответьте на вопросы:

1. Какой словарь будет обозначен кодом РА?

2. Почему среди кодов не должно быть кода НН?

3. Почему среди кодов должен быть код НФ и код ФН?

1. Перечисли коды всех словарей в алфавитном порядке. Ответ: словарей.

4.14

В теннисном турнире участвовало 5 человек. Сколько было сыграно партий, если каждый участник сыграл с остальными по одной партии?

Решение: дайте каждому участнику номер от 1 до 5, тогда каждую партию можно закодировать двузначным числом.

Ответьте на вопросы:

1. Что будет означать число 23?

1. Почему среди кодов не может быть числа 44?

1. Почему среди кодов должно быть только одно из чисел: 15 или 51?

1. Выпишите коды всех партий, расположив их треугольником и записывая коды в каждой строке в порядке возрастания (см. образец в учебнике стр. 222).

Ответ: партий.

4.15

Запишите все натуральные числа, не превышающие 10 000, для записи которых используются только две цифры: 0 и 9.

Решение:

Однозначное число (оно одно)

Двузначные числа (их два)

Трёхзначные числа (их четыре) Четырёхзначные числа (их восемь) Объясните почему на этом шаге перебор заканчивается?

4.16

Решите задачу, построив дерево возможных вариантов.

В магазине продаются футболки четырёх цветов: белые, голубые, красные, чёрные. Андрею нужны две футболки. Сколько у него есть вариантов покупки: а) если он хочет купить футболки разных цветов; б) если футболки могут быть одного цвета?

Ответ: а) ; б)

4.17

При облицовке кафелем части стены нужно выложить в ряд 6 одинаковых по размеру плиток, из которых 4 плитки голубого цвета и 2 – жёлтого. Сколькими способами это можно сделать, если требуется, чтобы жёлтые плитки не располагались рядом? (зарисуйте все варианты).