Числа Фибоначчи и золотое сечение

Числа Фибоначчи

и золотое сечение

1

1

2

3

8

13

21

5

. . .

Преподаватель математики Чернышева Ю.Е.

• Математика – это язык, на котором написана книга природы.

( Г. Галилей)

• Там, где красота, там действуют законы математики.( Г. Харди)

Величайшим математиком Европы в средние века был Леонардо из Пизы, в современности он больше известен как Фибоначчи.

Леонардо Пизанский

(Фибоначчи)

Около 1170 — 1250 г.

Его отец был купцом, и Леонардо много путешествовал с ним. В путешествиях он получил те знания, которые помогли ему в дальнейшей работе.

От арабов Леонардо узнал о существовании индийской, а ныне «арабской» десятичной системы счисления с ее позиционными обозначениями и нулем.

Арабская система счисления

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Римская система счисления

Памятник Леонардо

Страница Книги абака(лат.Liber abaci) Фибоначчи из национальной центральной библиотеки Флоренции. В правом блоке демонстрируется последовательность Фибоначчи. Позиции от 0 до 12 обозначены темным цветом римскими цифрами, а значения – красным цветом индо-арабскими цифрами. Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии,где она применялась в метрических науках(просодии,другими словами-стихосложении) намного раньше,чем стала известна в Европе .

Задача про кроликов

- пара, не дающая потомство

- пара, дающая потомство

Некто поместил пару кроликов в неком месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения.

Можно заметить закономерность, которая выполняется с третьего месяца:

1

1-й месяц

3-й месяц – 1 + 1 = 2 пары;

4-й месяц – 1 + 2 = 3 пары;

5-й месяц – 2 + 3 = 5 пар;

6-й месяц – 3 + 5 = 8 пар и т.д.

2-й месяц

1

3-й месяц

2

4-й месяц

3

5-й месяц

5

6-й месяц

8

Числа Фибоначчи — элементы последовательности:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711 , 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269 2178309, 3524578, 5702887, 9227465 14930352, 24157817, 39088169 , 63245986 102334155, 165580141, 267914296 433494437, 701408733, 1134903170, 1836311903 …

Золотая спираль Гёте назвал спираль «кривой жизни».

233

89

144

144

13

21

55

34

Числа Фибоначчи в природе

Первый и очень яркий пример – это подсолнухи. Их семена расположены так, чтобы максимально использовать всю площадь соцветия. А расположены они в виде двух пересекающихся спиралей справа налево и наоборот. У меньших соцветий 13 и 21,21 и 34, у больших 34 и 55, 55 и 89.

В сосновой шишке, если хорошо присмотреться, можно увидеть две спирали, закручены одна по часовой стрелке, а другая против. Число этих спиралей 8 и 13.

• Рассмотреть спираль так же можно в паутине или в том, как свернулась сороконожка .

Если посмотреть на многие кактусы сверху, то можно и здесь обнаружить ту же спираль, усики огурца или свернувшийся лист также демонстрируют спиралеобразное строение.

• У многих сложноцветных (розы, маргаритки, ромашки) заметно, спиральное расположение отдельных цветков. Молодые побеги папоротника, закручены в спираль . Хорошо виден винтообразный рост веток дерева.

Можно увидеть спираль и в разных явлениях природы, например таких как: смерч, ураган, облака, морские волны. Наша галактика – это спираль.

Даже ДНК человека это две свитые спирали.

Винты и спирали действительно на каждом шагу окружают нас.

«Ничто не нравится, кроме красоты, в красоте- ничто, кроме форм, в формах – ничто, кроме пропорций, в пропорциях- ничто, кроме числа».(А. Августин)

Последовательность Фибоначчи

• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…

21:13=1,6154

34:21=1,6190

55:34=1,6180

89:55=1,6182

Коэффициент Фибоначчи (золотой коэффициент, золотая середина, золотая пропорция, золотое сечение) : φ(фи)=1,618 …

Определение Золотого сечения

• Пропорция – это равенство между двумя отношениями четырех величин:

a:b =c:d.

• Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему;

• a:b=b:c или с:b=b:а.

Золотое сечение и искусство

Пирамида Хеопса

Высота грани, деленная на длину,

приводит к соотношению φ=1,618

Парфенон

Если произвести деление Парфенона по золотому сечению, то получим те или иные выступы фасада.

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Отношение длины здания к его высоте равно 1,618.

Проявление золотого сечения в скульптуре

Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал «золотое сечение» в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенос.

«Сосновая роща»

На знаменитой картине И.И.Шишкина «Сосновая роща» с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны – освещённый солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины

по золотому сечению и дальше.

Золотое сечение в литературе

Представляет несомненный интерес анализ романа "Евгений Онегин". Этот роман состоит из 8 глав, в каждой из них в среднем около 50 стихов. Наиболее совершенной, наиболее отточенной и эмоционально насыщенной является восьмая глава. В ней 51 стих. Вместе с письмом Евгения к Татьяне (60 строк) это точно соответствует числу Фибоначчи 55! Кульминацией главы является объяснение Евгения в любви к Татьяне - строка "Бледнеть и гаснуть, вот блаженство!". Эта строка делит всю восьмую главу на две части - в первой 477 строк, а во второй - 295 строк. Их отношение равно 1,617! Тончайшее соответствие величине золотой пропорции! Это великое чудо гармонии, совершенное гением Пушкина!.

Джоконда

Портрет Моны Лизы (Джоконды) долгие

годы привлекает внимание

исследователей,

которые обнаружили, что композиция

рисунка основана на золотых

треугольниках,

являющихся частями правильного

звездчатого пятиугольника.

«Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием» С.Д. Пуассон

Спасибо за внимание