Элементарные функции

Элементарные функции

Урок №1

Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий , выражающее зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т.д. – имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.

В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел.

Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями , или функциями.

Определение:

• Пусть даны два множества Х и Y .

• Определение 1 . Если каждому элементу х из множества Х по определённому правилу или закону f ставится в соответствие один элемент у из множества Y , то говорят, что на множестве Х задана функция f и пишут

• , или у = f ( x ).

09.01.23

http://aida.ucoz.ru

Определение:

• , или у = f ( x ).
• При этом величина х называется аргументом функции f , а множество Х – областью определения функции f . Величина х называется также независимой переменной , а величина у – зависимой переменной . Множество Y называется областью значений функции f . Область определения функции f обозначается через D ( f ), а область значений – через E ( f ).

09.01.23

http://aida.ucoz.ru

Способы задания функции:

Задать функцию – значит указать область её определения и правило, по которому по данному значению независимой переменной можно найти соответствующее ему значение функции.

Существует три основных способа задания функции :

 аналитический,

 табличный,

 графический.

Определение:

• у = f ( x ) (1)
• Число, соответствующее для данной функции у(х), называют значением функции в точке х 0 и обозначают у(х 0 )
• Если функция записана в виде (1), то число обозначают f (х 0 ).

09.01.23

http://aida.ucoz.ru

Определение функции:

Какие из графиков являются графиками функций?

у

у

у 2

у 1

у 1

х 1

х 2

О

х о

х

О

х

у 2

у

Является функцией

у 1

Не является функцией

х о

О

х

у 2

Не является функцией

Способы задания функции:

аналитический

табличный

зависимость между переменными величинами задаётся с помощью формулы, указывающей, какие действия надо выполнить над аргументом, чтобы получить соответствующее ему значение функции.

При этом функция может быть задана как одной формулой, например,

так и несколькими формулами, например

графический

заключается в том, что зависимость между переменными задают с помощью таблицы. Хорошо известны, например, таблицы логарифмов, тригонометрических функций и др .

состоит в том, что соответствие между переменными х и у задаётся с помощью графика функции. Графиком функции y = f ( x ) называется множество всех точек (х, у) плоскости XOY , координаты которых связаны соотношением y  =  f ( x ). Так, графики вышеназванных функций: f ( x ) и g ( x )

х

у

0

1

0

2

1

3

4

9

4

16

Сложная функция

• Пусть функция z  =  g ( x ) определена на множестве Х, а функция y  =  f ( z ) определена на множестве Z , причём область значений функции g содержится в области определения функции f . Функция y  =  f ( g ( x )) называется сложной функцией, или функцией от функции, или суперпозицией функций z = g ( x ) и y  =  f ( z ).

Z

X

y=f(z)

Y

z=g(x)

z

x

y

y=f(g(x))

09.01.23

http://aida.ucoz.ru

Сложная функция

• Переменная х называется независимой переменной функции у, а функция z = g ( x ) – зависимой переменной, или промежуточным аргументом функции y  =  f ( x ).

Z

X

y=f(z)

Y

z=g(x)

z

x

y

y=f(g(x))

10

09.01.23

http://aida.ucoz.ru

Примеры:

z=g(x)

y=f(z)

y=f(g(x))

09.01.23

http://aida.ucoz.ru

Примеры сложных функций

• Можно указать сложную функцию, в образовании которой участвует более двух функций. Например:

09.01.23

http://aida.ucoz.ru

Элементарные функции

• Основными элементарными функциями называются следующие функции :

степенная функция

показательная функция

• степенная функция показательная функция
• степенная функция показательная функция

логарифмическая функция ,

тригонометрические функции

• логарифмическая функция , тригонометрические функции
• логарифмическая функция , тригонометрические функции

09.01.23

http://aida.ucoz.ru

Элементарные функции

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой у = f ( x ) , где f ( x ) – выражение, составленное из основных элементарных функций и действительных чисел с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

09.01.23

http://aida.ucoz.ru