Эстетическое содержание урока математики.

Эстетическое содержание урока математики

Давыдова Татьяна Николаевна,

учитель математики МБОУ «Гимназия №13 имени Э. А. Быкова»

Контактный телефон: 8-923-705-52-97

г. Новосибирск, 2022

Актуальность выбранной темы вижу в том, что выпускники наших школ должны быть вооружены основами объективного мировоззрения, опирающегося на прочную интеллектуальную основу, которая, прежде всего, зависит от воспитательного потенциала математики, как средства познания и осознания.

Эстетическое пронизывает всю жизнь растущего человека, поэтому нельзя говорить отдельно о предметах эстетического и, например, естественно математического цикла. Специфика каждой дисциплины должна учитывать её эстетический аспект, в этом убеждает и наука, и практика.

Ещё К.Д. Ушинский говорил, что во всякой науке в большей или меньшей степени, присутствует эстетический аспект. Одно из требований эстетики: гармония, гармоническая связь всех элементов обучения. Урок, где всё органично, целесообразно, эстетичен, будь то урок музыки или матемтики.

Наличие эстетического элемента в содержании урока математики подтверждают прежде всего сами её творцы. С.Д. Пуассону казалось, что жизнь красна двумя вещами: возможностью изучать математику и возможностью преподавать её. Знаменитый афоризм Б. Паскаля гласит: «То, что может превышать геометрию, превышает нас».

В том, что эстетический элемент в математике – реальная вещь, убеждает и наш личный опыт в процессе изучения и преподавания математики, и пример наших учеников, проявляющих особое расположение к этой дисциплине.

Опыт приводит к мысли о том, что источником эстетического воздействия математики являются некоторые её особенности. Следует подчеркнуть, что учителя математики, как и ученики, глядя на математику как бы со стороны, способны видеть лишь её внешние особенности, часто не подозревая о каких-то глубинных её особенностях. В общих чертах к этим особенностям относятся:

• Абстрактность.

Известно, что каждое отдельно взятое понятие математики трудно усваивается, потому что все они, начиная с простейших, очень абстрактны. Но у абстрактности есть достоинства, которые не могут не нравиться. В абстрактности математики её сила и престиж.

• Дедуктивный характер.

В математике мы пользуемся дедукцией, проводя рассуждения, например, такого типа: известно, что любой равнобедренный треугольник имеет ось симметрии, а поскольку данный треугольник равнобедренный, то он имеет ось симметрии. Слово «дедукция» в переводе на русский означает «вывод»

Дедукция и логика, которая в ней занимает исключительное место. Эта особенность сводит всю суть математики к доказательству. Никто не передаёт так верно эстетику математического доказательства, как Харди: «Математик так же, как художник или поэт, создаёт узоры. Узоры математики, так же как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики».

Логика сводит отдельные математические понятия в систему, придавая ей форму, способную служить предметом эстетического восприятия.

• Непреложность выводов.

Никакой результат математики не зачёркивается её дальнейшим развитием. Однажды доказанная теорема уже никогда не становится неверной, хотя впоследствии может выясниться, что она является лишь частным случаем какой-то более общей истины. Математические знания не подлежат пересмотру, и общий их запас может лишь возрастать.

• Единство частей.

Отражением глубокого ощущения единства математики являются идеи аналогии, обобщения, изоморфизма, которые постоянно возрождаются на почве этого ощущения.

• Совершенство языка.

Действительно, математические символы очень быстро передают информацию и обеспечивают удобство её переработки. Когда они несут большой объём информации, формулы приобретают особую компактность, а формальные преобразования – лёгкую обозримость.

• Полезность.

• Это проникновение математического аппарата в ту или иную область знаний, которое знаменует этап в её развитии, способствующий возникновению новых знаний в самых различных науках.

Многие приходят к математике, как к необходимому этапу подготовки ума к усвоению естественных и других наук. Этот взгляд на математику особенно актуален в наше время. Я согласна с Гёте в том, что «польза – лишь часть того, что имеет значение» Но, это самая главная часть, по моему мнению.

• Обаяние истории.

История математики служит началом жизни доисторической математики, и сегодня остаётся фундаментом здания математической науки. История математики тысячами нитей связана с историей других наук, историей техники, историей искусства, она – существенная часть истории человеческой культуры. А истории отдельных людей и их научных подвигов нельзя читать без волнения.

Хочу остановиться теперь на конкретных примерах математической красоты, ощущаемой с первого взгляда:

• Красивые задачи – это занимательные задачи, привлекающие интересным содержанием условия, в решении которых спрятана «изюминка» или задачи, в которых ответ элегантен и прост.

Например, старинная Задачка про волка, козу и капусту. Мужику нужно перевезти через реку волка, козу и капусту. Но в лодке может поместиться только он сам, а с ним или только волк, или только коза, или только капуста. Но если оставить волка с козой, то волк съест козу, а если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. Как мужику перевезти свой груз? Решение: Нужно начать с козы. Перевезя ее, мужик возвращается на другой берег и берет волка. Переправив волка, он оставляет его на другом берегу, но зато берет козу и везет ее обратно на первый берег. Здесь он оставляет ее и перевозит к волку капусту. Затем, вернувшись, берет козу — переправа благополучно заканчивается.

• Красота геометрических форм – непосредственная красота геометрических форм неизмеримо обогащается при раскрытии её математического содержания и значения. Я считаю, что даже при таком многообразии технических и наглядных средств, в настоящее время, учителю необходимо делать не только правильные, но и красивые чертежи на доске, пользуясь тонкими и жирными линиями, пунктирами, цветными мелками, штриховкой и тонировкой, оттеняющей пространственность изображаемого…Эстетика геометрической формы, например, эстетика линии, привлекала к себе внимание не только математиков. Так, по мнению популяризатора А. Струдничка, «самая простая кривая форма – круг» и она производит на нас очень сильное приятное впечатление. Удовольствие, испытываемое нами при виде кривой линии, бывает тем сильнее, чем сложнее её принцип; «в эллипсе есть нечто более привлекательное, чем в круге, а овал, спираль и волнистая линия более приятны, чем эллипсы»

• Устный счёт – кроме неоспоримо практического значения, искусство устного счёта на определённой ступени своего совершенства становится эстетическим явлением. Именно эту идею передаёт известная картина Н.П. Богданова-Бельского «Устный счёт». Высокую вычислительную культуру, точнее культуру устного счёта, у древних индийцев было под поэтическим названием «воздушного счёта». И сегодня мы нет-нет да и посвятим неискушённых учеников в индийскую тайну быстрого умножения и покажем её красоту на простом примере, вроде следующего. Допустим, надо умножить 96 на 92. Дополнения до ста – соответственно 4 и 8. Отнимем от первого сомножителя дополнение второго (96 – 8 = 88) или от второго сомножителя дополнение первого (92 – 4 = 88). И в том и в другом случае получается 88. Это первые цифры искомого произведения. Перемножаем дополнения (4*8 = 32) – это последние цифры произведения. Итак, 96*92 = 8832. Если же мы будем делать это систематически, то приверженцы устного счёта, ради собственного удовольствия будут легко брать в уме определённые интегралы.

• Симметрия. Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство. (Г.Вейгель)

Таким образом, симметрия воспринимается человеком как проявление закономерности, порядка, царящего в природе. Итак, целесообразность симметрических форм была осознана человечеством в доисторические времена, а в сознании древних греков симметрия стала олицетворением закономерности, целесообразности, а, следовательно, и красоты.

Пушкин А.С. рисует величавую Царевну – Лебедь со звездой во лбу (красота – симметрия) и окривевших злодеек ткачиху с поварихой (уродство – асимметрия).

• Пропорции. Пропорции – один частный случай деления отрезка на две части вошёл в историю искусства и потому представляет собой интерес. Возьмем простой пример: деление отрезка прямой. Если отрезок разделить пополам, зеркально – симметрично, то такое деление выглядит уравновешенным, мертвым. Если же точку деления взять слишком близко к одному из концов отрезка, то новая конфигурация будет чересчур неуравновешенной. Только некоторая “золотая середина”, которая не является геометрической серединой, обеспечивает желаемое единство симметрии и асимметрии.

Такое “радующее глаз” деление отрезка, по преданию, было известно еще Пифагору и называлось им “золотой пропорцией”. У древних египтян, “золотая пропорция” определяется как деление отрезка на две неравные части, при котором меньшая из них так относится к большей, как последняя ко всей длине отрезка. Художник и инженер Леонардо да Винчи называл ее “Sectio aurea” (золотое сечение), а математик и астроном Иоганн Кеплер, обнаруживший “золотую пропорцию” в ботанике, называл ее “Sectio divina” (божественное сечение). “Золотое сечение” мы находим всюду: в изобразительном и прикладном искусстве, в архитектуре и музыке, в литературе, в предметах быта и машинах.

Лука Пачоли писал, что без помощи «божественной пропорции», «не может образоваться пятиугольник, без пятиугольника невозможно ни образовать, ни представить себе тело, благороднейшее из всех правильных тел, называемое додекаэдром, создание которого божественный Платон приписывает высшей сущности или небу»

Пропорция в искусстве определяет соотношение величин элементов художественного произведения. В эстетике пропорция, как и симметрия, является составным элементом категории меры и выражает закономерность структуры эстетического образа.

• Компактность формул – в математике есть формулы, по содержанию необъятные, как «Божественная комедия», и по форме краткие и выразительные, как японские трёхстишия. Эти формулы – лучшая иллюстрация шедевров компактности, эстетический эффект которых состоит в сжатости и глубине смысла.

• Биографические миниатюры. Основной материал учебника математики для обучающегося является открытием. Он обращён к разуму и ничего не предлагает чувству. Но, на уроке, где слово учителя также новость, нужно стараться по возможности адресовать его не только голове, но и сердцу. Исторический материал способен вовлекать в процесс познания «человеческие эмоции», без которых никогда не происходит человеческого познания.

Некоторые исторические факты дали неоспоримый толчок в развитии математики и несут положительный эмоциональный эффект в любой аудитории обучающихся. Если переменная Декарта в математике стала ключевой в описании процессов, то производная Ньютона послужила ей инструментом для описания. Н. И. Лобачевский лишь немного изменил формулировку евклидовой аксиомы о параллельных, но оно явилось началом революции в геометрии. Названные математики и множество других заслуживают большего, чем простое упоминание их имени. Поэтому существует проблема краткой выразительной миниатюры, которая сможет вписаться в «короткий» урок. Нам, учителям, стоит отбирать в миниатюру только яркий интересный материал. Например, смотри приложение1

• Мозаика фактов. Интересные исторические факты, содержание которых легко передаётся в двух-трёх словах, кроме своего познавательного значения, позволяют, почти не отвлекаясь от основного содержания урока, в нужные моменты переключать внимание учащихся с более трудных вопросов на более лёгкие и активизировать работоспособность. Переключение внимания обучающихся в ходе длительных и сложных рассуждений с помощью соответствующих небольших «вставок» очень полезно, об этом в своё время писал академик А.Н. Крылов. Например, приложение2

Стихи на уроке. Особое распространение в классной и внеклассной работе по математике получило использование стихов для предания уроку занимательности. Использование стихов на уроках математики способствует созданию эмоционального фона урока. Стихи разрывают монотонность речи педагога, переводят слушателей в иной ритм и тем притягивают их внимание. Кроме того, стихи могут объяснить то, о чем только толковал учитель, используя логические рассуждения, но сделать это не с помощью логики, а путем обращения к образам. Устав от логики, учащиеся ждут и ищут чего-то другого. Стихи дают им это другое - иной способ выражения мыслей. Обычно это делается так. Либо рифмуется известная школьная истина (теорема, аксиома), либо фабула какой-то задачи излагается в стихах, - чтобы сделать эту задачу более привлекательной, либо, наконец, мы надеемся на силу поэтического слова, стараясь убедить наших учеников в необходимости работать над предметом. Конечно, в такой работе мы должны руководствоваться, по-видимому, во-первых, требованиями самой математики - достоверность информации, корректность постановки задачи и т.д., и, во-вторых, требованиями, которые ставит перед собой поэзия, ибо поэтическое слово независимо от того, произнесено оно на уроке математики, дома, по радио или на уроке литературы, остается словом поэтическим и должно обладать силой эмоционального воздействия, быть высоко эстетичным.Приложение3

  Практика показывает: если школьник проявляет большой интерес к математике, если он с успехом, часто и с удовольствием решает трудные математические задачи, то с большей уверенностью можно предположить, что у этого школьника имеются не только математические способности, но и ясность в мышлении, порядок в логике.

Увидеть красоту математики, ее объектов и методов может только увлекающийся человек. Поэтому важно прививая любовь к предмету, развивая эстетическое восприятие математической действительности, развивать познавательную активность учащихся. Таким образом, реализация эстетического потенциала математики в процессе обучения школьников способствует не только созданию положительного эмоционального фона, формирующего интерес к учению, но и развивает познавательно-конструктивные способности личности, характеризующие деятельность воображения, образного мышления, интуиции, что, в свою очередь, влечет за собой повышение уровня общей культуры.

Приложение 1

«Более 40 лет жизни математик Николай Лобачевский посвятил работе в Казанском университете, причём почти половину этого срока он им руководил, занимая ректорскую должность. Современные учёные полагают, что именно его мудрое руководство на протяжении двух десятилетий сделало этот университет одним из лучших в России.

Создание геометрии Лобачевского навеки обеспечило великому математику место в истории. Это один из видов неевклидовой геометрии который не используется в повседневной жизни, но имеет огромное значение как для математики, так и для физики.

   О степени одарённости Николая Ивановича говорит уже то, что он ещё в молодости получил профессорское звание. Точнее, магистром он стал уже в 19 лет, а профессором – в 24. Получить это звание в столь юном возрасте было чем-то невероятным. В последние годы жизни Николай Лобачевский быстро терял зрение, и в конце концов ослеп окончательно. Последний его труд был записан под диктовку, потому что работы он не оставлял до последнего дня. Свой век великий математик доживал в бедности, так как после увольнения из университета им с женой пришлось продать дом и имение, чтобы расплатиться с долгами.»

«Рене Декарт (1596-1650) – французский мыслитель, механик, физиолог, математик и физик. Интересен факт, что город, в котором родился ученый, был позже назван в честь Декарта. Будучи юношей, Декарт получил религиозное образование, по причине чего до конца дней относился к церкви скептически. Рене Декарт происходил из мелкого дворянского рода. У философа была внебрачная дочь, рожденная от служанки. Девочка умерла еще в раннем возрасте, что стало для Декарта настоящей трагедией. Декартова система координат до сих пор активно применяется во всем мире. Любопытно, что нумерацию кресел в театральных залах ввел именно Декарт. В течение всей жизни Декарта мучали разные болезни, поскольку он отличался слабым здоровьем. Декарт умер в Стокгольме, однако через 17 лет его решили перезахоронить в Париже. В честь Декарта назван кратер на Луне и астероид под номером 3587».

«Леонард Эйлер — швейцарский математик и физик, который был пионером во многих областях этих наук. Большую часть жизни прожил в России и Пруссии. Он считается одним из самых плодовитых математиков в истории, который сделал множество открытий в таких различных областях математики, как дифференциальное и интегральное исчисление. Эйлер внёс огромный вклад в развитие терминологии и математических обозначений, особенно в области математического анализа. Он первый в истории кто использовал, например, концепцию и обозначение функций. Помимо этого, Эйлер опубликовал много важных работ в области механики, оптики и астрономии. 7 января 1734 года он женился на Екатерине Гзель, дочери художника из петербургской гимназии. Молодая пара приобрела дом возле реки Нева. У них в общей сложности родилось тринадцать детей, из которых только пять пережили детские годы. Ему принадлежат результаты, касающиеся всех математических дисциплин. Последние 27 лет он работал, будучи совсем слепым, не ослабляя своей огромной продуктивности. Петербургская Академия Наук, членом которой был Эйлер, публиковала оставшиеся после его смерти рукописи в течение 47 лет. Издание полного собрания его сочинений, начатое в 1911 году, до сих пор не завершено. Вышло около 70 томов. Эйлер похоронен в Петербурге».

Приложение 2

«Итальянский математик Уильям Роуан Гамильтон (1805-1865) ещё в школе изучил 13 языков».

«Эвараст Галуа (1811 – 1832), заложивший основы теории групп, не понятый при жизни, был убит на дуэли на 21-м году»

«Отрицательные числа были придуманы математиками Древнего Китая в III веке, но использовались они очень редко, и широкого распространения не получили»

«Самое большое число в математике называется гуголплекс. Это единицы с тысячью нулей, что превышает число атомов в известной нам части Вселенной».

«Число Пи  одна - из основ математики, было открыто учёными разных культур независимо друг от друга. Оно, кстати, бесконечно»

«Среди всех фигур с одинаковым периметром, у круга будет самая большая площадь. И наоборот, среди всех фигур с одинаковой площадью, у круга будет самый маленький периметр»

«Число 18 является единственным, сумма обеих цифр которого меньше самого этого числа ровно вдвое»

«В первой половине 18 века в Париже давался водевиль под названием «Бесконечно малые», где в числе действующих лиц фигурировал математик Лопиталь, автор первого учебника дифференциального исчисления»

Приложение 3

Тема: «Что такое функция?»

Две переменных  повстречались,
Подружились, обвенчались.
Общую фамилию взяли,
Свое семейство «функция» назвали.

Переменная  х никому не подчиняется,
Независимой называется
Аргументом красиво величают,

Главой семейства назначают

Переменная у зависимой является

Она аргументу подчиняется.

По характеру решили имя дать

Функцией от аргумента решили назвать.

Все значения переменной х
Область определенья составляют
Значенья  переменной у
Значеньями функции называют.

В семействе одно правило выполняется
Никем и  никогда не нарушается:
За каждое значенью х , все знают,
Единственное у отвечает!

Литература

1. Зенкевич И.Г. «Эстетика урока математики», М: Просвещение, 1981

2. Кордемский Б.А. «Увлечь школьников математикой». М: Просвещение, 1991

3. Минскин Е.М. «От игры к знаниям». М: Просвещение, 1987

4. Саввина О.А. Эстетический потенциал истории математики. // Математика в школе, 2000. - № 3.-С.8-12.

5. https://moluch.ru/conf/ped/archive/211/11701/

6. https://infourok.ru/esteticheskoe-vospitanie-uchaschihsya-na-urokah-matematiki-2292907.html

7. https://vivareit.ru/interesnye-fakty-iz-zhizni-leonarda-ejlera/

8. https://faktrus.ru/30-фактов-о-математике/

9. http://www.dslib.net/teoria-vospitania/jesteticheskoe-vospitanie-uchawihsja-pri-obuchenii-matematike-v-srednej-shkole.html

10. https://www.kanal-o.ru/news/9808

11. https://infourok.ru/esteticheskaya-sostavlyayuschaya-na-urokah-matematiki-2038833.html

12. https://urok.1sept.ru/articles/666191