Группы задач по теме в современных школьных учебниках

§1. Группы задач по теме в современных школьных учебниках

В ходе проведения логико-дидактического анализа темы «Объем пирамиды» в учебниках Л. С. Атанасяна (Приложение 1) и Е.В. Потоскуева (Приложение 2) были выделены следующие группы задач:

1. По единому требованию;

2. По единой конструкции;

3. По единому методу решения.

1. Группа задач по единому требованию

В данную группу были отнесены все задачи, имеющие общее требование. Поскольку в исследовании рассматривается объем пирамиды, то было выделено требование – найти объем пирамиды (задачи №№2.278, 2.279, 2.287, 2.289, 2.290 – 2.293, 2.296-2.298, 2.300, 2.301, 2.303-2.320, 2.322, 2.324-2.327, 2.330, 2.331, 2.340, 2.341, 2.342 – из [24]; №№684-692, 694-700 – из [3]).

1. В треугольной пирамиде одна из сторон основания 16 см, противоположное ей боковое ребро 18 см; каждое из четырех остальных ребер равно 17 см. Найдите объем пирамиды.

2.Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция, боковая сторона которой равна 15 дм, а большее основание 24 дм. Высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание. Найдите объем пирамиды, если площадь ее боковой поверхности равна 300 дм².

2. Группа задач по единой конструкции

В данную группу объединялись задачи, основанные на единой геометрической конструкции, независимо от условия и требований задач (задачи №№ 685, 686, 687; 688, 689 – из [3]; №№2.278, 2.294, 2.308, 2.309, 2.314, 2.318; 2.292, 2.312, 2.325; 2.289, 2.304-из [24]).

1. В основании пирамиды MABCD лежит трапеция ABCD, у которой АВ = ЕС = CD = а и AD = 2а. Высота пирамиды лежит в грани МАВ, являющейся равносторонним треугольником. Найдите объем пирамиды.

2. В основании пирамиды MABCD лежит трапеция ABCD с основаниями ВС = 3 см и AD = 7 см. Объем пирамиды МАВС на 4 м3 больше объема пирамиды MACD. Найдите объем пирамиды MABCD.

3. Группа задач по единому методу решения

В эту группу были объединены задачи, решение которых основано на едином методе, независимо от условия, требований задачи и геометрической конструкции.

Были выделены следующие методы решения задач на нахождение объема пирамиды:

- объем как произведение площади основания пирамиды на ее высоту (задачи №№ 684, 685-692, 694, 695, 696 – из [3]; №№ 278, 279, 287, 292, 293, 296, 297, 298, 300, 301, 303, 304, 305, 306, 309, 311, 313-317– из [24]);

1. Найдите объем правильной треугольной пирамиды с боковым ребром l, если:

а) боковое ребро составляет с плоскостью основания угол ;

б) боковое ребро составляет с прилежащей стороной основания угол ;

в) плоский угол при вершине равен .

2. Найдите объем пирамиды с высотой h, если:

а) h = 2 м, а основанием служит квадрат со стороной 3 м;

б) h = 2,2 м, а основанием служит треугольник ABC, в которомАВ=20 см, ВС=13,5 см, ABC=30°.

- нахождение объема пирамиды через отношение объемов других многогранников (задачи №№289, 310, 318, 320, 322, 324, 325, 326, 327, 330, 331 – из [24]);

1. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD проведено сечение через высоту МО и точку К на ребре АВ. Найдите объем каждой из получившихся пирамид, если объем всей пирамиды V.

2. На ребрах MA, MB и МС тетраэдра МАВС взяли со­ответственно точки А₁, B₁ и С₁ Докажите, что объем тетраэдра МА₁В₁С₁ относится к объему тетраэдра МАВС, как произведение отрезков МА₁, МВ₁ и МС₁ относится к произведению отрезков MA, MB и МС.

- объем усеченной пирамиды (№№2.340, 2.341, 2.342 - из [24]; №№ 699, 700 – из [3]).

1. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, ка­теты которого равны 24 дм и 18 дм. Каждое боковое ребро равно 25 дм. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной плоскости основания и делящей боковое ребро пополам. Найдите объем полученной усеченной пирамиды.

2.В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны осно­ваний равны 6 см и 4 см, а площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, равна 15 см². Найдите объем усеченной пирамиды.

- координатный метод нахождения объема пирамиды (№№686-690, 696 - из [3]; №№ 2.278, 290, 294, 296, 297, 298, 299, 300, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 313, 314, 318, 328, 329 – из [24]).

1. Высота правильной треугольной пирамиды равна 11 см, а сторона основания пирамиды меньше бокового ребра на 1 см. Найдите объем пирамиды.

2. В основании пирамиды МАВС лежит треугольник ABC, у которого АВ = 6, BCA = 75°. Ребро МА перпендикулярно основанию, а ребра MB и МС образуют с основанием углы по 45°. Найдите объем пирамиды.

Особенностями задач в рассмотренных учебниках являются:

1) Требуется найти объем пирамиды по известным элементам основания и высоте;

2) Требуется найти объем пирамиды по известным элементам основания, ребру и углу между ним и основанием;

3) Требуется найти объем пирамиды, когда известен радиус вписанной или описанной окружности;

4) Требуется найти объем пирамиды, когда все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом;

5) Требуется найти объем пирамиды, когда одна из граней перпендикулярна плоскости основания;

6) Требуется найти объем пирамиды, когда известны какие-либо данные по ее сечениям;

7) Требуется найти объем пирамиды, когда известны некоторые двугранные углы;

8) Требуется найти объем пирамиды, на ребрах которой взяты точки, делящие их в определенном отношении.

Данные задачи формируют следующие умения:

1) Умение находить объем пирамиды, по известным элементам основания и высоте;

2) Умение находить объем правильных пирамид;

3) Умение находить объем пирамиды по известному радиусу вписанной или описанной окружности;

4) Умение находить объем пирамиды в случаях, когда все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним углом, или одна грань перпендикулярна плоскости основания, или известны двугранные углы;

5) Умение находить объем пирамиды, когда на ребрах взяты точки, делящие ребра в известных отношениях.