Исследование методов решения геометрических задач на отношения длин

Исследование методов решения геометрических задач на отношения длин

Забелина Галина Михайловна, учитель математики, МБОУ Первомайская СОШ

Решая геометрические задачи, думаем, все, однажды задавались вопросом, нельзя ли одну и ту же задачу решить разными способами. Для решения геометрических задач на отношения длин есть метод, позволяющий быстрее и проще доказывать известные теоремы и решать некоторые задачи. В его основе лежит понятие центра масс или барицентра.

Основоположником этого метода был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в III в до н. э., он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс. В частности, этим способом Архимед доказал теорему о том, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Ее способ доказательства отличается от варианта, который рассматривается в школьном курсе геометрии, и мы тоже докажем эту теорему, используя барицентрический метод. Кроме того, интересна возможность применения этого метода к решению задач на отношение длин.

Среди олимпиадных заданий часто встречаются задачи на отношение длин. Такие задания есть в заданиях повышенной сложности ОГЭ и ЕГЭ по математике. Как показывает практика, большинство учащихся не умеет решать данные задачи. Решить такие задачи методами школьной математики довольно сложно. Но за решение данных задач ставят высокий балл на экзаменах.

На примере одной задачи предлагаю различные способы её.

Задача 1 (1-ый способ): На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки M, N и K так, что AM : MB = 2 : 3, AK : KC = 2 : 1, BN : NC = 1 : 2. В каком отношении прямая MK делит отрезок AN?

Дано: ΔАВС, М АВ, N ВС, К АС, АМ:МВ=2:3, АК:КС=2:1, BN:NС=1:2.

Найти: AP:PN.

Решение:

1) Продлим прямую МК до пересечения с прямой ВС, МК не параллельна ВС, так как . Обозначим S – точка пересечения МК и ВС.

2) Рассмотрим ΔАВС с секущей MS. Точки М, К и S лежат на одной прямой, значит, по теореме Менелая:

3) Выразим NS через SB:

4) Рассмотрим ΔВАN с секущей MS. Точки М, Р и S лежат на одной прямой, значит, по теореме Менелая:

Ответ: АP:РN=6:7.

Задача 1 (2-ой способ): На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки M, N и K так, что AM :MB = 2 : 3, AK : KC = 2 : 1, BN : NC = 1 : 2. В каком отношении прямая MK делит отрезок AN?

Дано: ΔАВС, М АВ, N ВС, К АС, АМ:МВ=2:3, АК:КС=2:1, BN:NС=1:2.

Найти: AP:PN.

Решение

Пусть P — точка пересечения прямой MK с отрезком AN. Обозначим = x и  . Тогда

S _ABN =  ^. S = S,  =  ^. S = S,

=  ^{.  .}  =  ^. x ^{.  .} S = x ^. S,

=   ^{.   .}  =   ^. x ^{.   .} S =  x ^. S,

=  ^{.    .} S =   ^{.   .} S = S.

Поскольку  =  +  , то

x ^. S +  x ^. S = S.

Отсюда находим, что x =  . Следовательно,   =  .

Ответ: AP:PN=6:7

Каждый из нас в детстве качался на качелях, и мы замечали, что если наш товарищ тяжелее, то он качели перевешивал. Если же товарищ передвинется ближе к центру, то качели уравновесятся. Но возникает вопрос: насколько ближе нужно передвинуться, чтобы качели уравновесились? На этот вопрос нам поможет ответить метод нахождения центра масс, который называют барицентром.

Родоначальником метода был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в III в. до н. э. он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс.

В частности, этим способом Архимед доказал теорему о том, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1. В его основе лежит понятие центра масс, который называют барицентр.

Эту идею мы применим для решения данной задачи.

Здесь имеет место физическая теорема (правило рычага):

Центром масс данной системы двух точек будет такая точка О данного отрезка, что произведение АО * m₁ = BO * m₂ или .

Задача 1. (3-ий способ). На сторонах АВ, ВС и АС треугольника ABC взяты соответственно точки М, N и К так, что AM : MB = 2:3, АК : КС = 2:1, BN : NC = 1:2. В каком отношении прямая МК делит отрезок AN?

Решение:

Нагрузим точки A, B, C, массами таким образом, чтобы центр масс системы AB находился в точке M, а системы BC в точке N, а системы AC в точке K.

Загрузим точки А и В такие массы, чтобы их центром оказалась точка М; очевидно, достаточно (в силу правила рычага) поместить в В массу 2 (т. е. рассмотреть материальную точку 2В), а в точку А – массу 3 (материальная точка 3А).

Загрузим точки В и С такими массами, чтобы их центром оказалась точка N; очевидно, достаточно (в силу правила рычага) поместить в C массу 1 (т. е. рассмотреть материальную точку 1C), а в B – массу 2 (материальная точка 2В).

Далее, имея уже материальную точку 1С, подберём для точки А другую такую массу х, чтобы точка К оказалась центром масс двух м. т. 1С и хА. По правилу рычага имеем 1  |КC| = х |АК|, откуда . Следовательно, в точку А помещаем массу 0,5 (материальная точка 0,5А).

Так как P центр масс материальных точек 3,5А и 3N, то 3·|PN|=3.5·|AP|, следовательно  .

Ответ: АP : РN = 6 : 7.

Подведем итог:

• В процессе проведенного исследования методов решения геометрических задач на отношение длин найден оригинальный способ с использованием свойств центра масс, который позволяет существенно упростить решение задач.

• Изученный барицентрический метод позволяет расширить знания по геометрии за рамки школьного курса.