Исследовательская работа по теме "Загадочный мир фракталов"

Загадочный мир фракталов

Что такое фрактал?

• Фрактал – это множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность, либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев.

Геометрические фракталы

• Основными представителями этой группы фракталов являются такие объекты, как:  кривая Пеано ,  снежинка Коха ,  треугольник Серпинского, пыль Кантора, «дракон» Хартера-Хейтуэя. Все они получены путем повторений определенной последовательности геометрических построений с использованием точек и линий. Кантор с помощью простой рекурсивной процедуры «превратил» линию в набор несвязных точек: брал линию и выносил её центральную треть на определенное расстояние, затем повторял эту процедуру с остальными отрезками.

Снежинка Коха

• Из геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является  фрактал "Снежинка Коха".  Строится она на основе равностороннего треугольника. Пусть сторона исходного треугольника равна 1. Его площадь также равна 1.
• Каждая сторона  делится на три части каждая длиной в 1/3 исходной  стороны. Затем пририсовываются три меньших равносторонних треугольника по одному на каждой стороне (на средней трети). На каждой из полученных 12 сторон пририсовываются по одному ещё меньшему треугольнику (снова на средней трети стороны). 
• Таким образом, с каждой итерацией длина кривой увеличивается на треть.
• Этот процесс можно продолжать бесконечно долго. 
• Каждый раз число сторон учетверяется. Число сторон можно выразить  такой последовательностью:
• 3, 3*4, 3*4*4,  3* 4*4*4, 3* 4*4*4*4....

Треугольник серпинского

• Этот фрактал описал в 1915 году польский математик  Вацлав Серпинский . Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага, а на флэш-демонстрации вы можете потренироваться и получить шаги вплоть до десятого.

Алгебраические фракталы

• Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится, на экран выводится точка. 

Фракталы Пьера Фату

• Фату изучал рекурсивные процессы вида Начав с точки  на комплексной плоскости, можно получить новые точки, последовательно применяя к ним эту формулу.  Такая последовательность точек называется  орбитой   при преобразовании 

Эффектные «Фаберже фракталы» Тома Беддарда

• Шотландец Том Беддард (Tom Beddard) долгое время был ученым-физиком и изучал лазеры. Сейчас он известен в сети, как художник и веб-разработчик с псевдонимом subBlue. Автор создает необычные фрактальные изображения.

Фракталы в 3D-графике

Примеры из реального мира

Спасибо за внимание