Исследовательская работа учащихся на тему "Мир невозможных фигур"

Введение

Изучая геометрию, мы заинтересовались такими фигурами, которые на первый взгляд кажутся обычными, а присмотревшись можно увидеть, что что-то в них не так. Основной интерес для нас представляют так называемые невозможные фигуры, посмотрев на которые создается впечатление, что существовать в реальном мире они не могут. Мы опросили учеников и учителей, знают ли они что-нибудь о невозможных фигурах. Оказалось, что никто из них даже не слышал об этом. Когда мы показали несколько невозможных фигур, большинство заинтересовались этой темой. Нам захотелось узнать о невозможных фигурах больше.

«Мир невозможных фигур» одна из интереснейших тем, которая получила свое бурное развитее всего лишь в начале ХХ века. Однако, гораздо раньше, многие ученые и философы занимались этим вопросом. Даже такие простые объемные формы, как куб, пирамида, параллелепипед можно представить как комбинацию нескольких фигур, находящихся на разном расстоянии от глаза наблюдателя. Всегда при этом должна быть линия, по которой изображение отдельных частей совмещаются в целостную картину.

Невозможная фигура – это один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры. Создаётся иллюзия невозможности существования такой фигуры в трёхмерном пространстве.

Перед нами встал вопрос: «Существуют ли в реальном мире невозможные фигуры?»

Цели исследования:

1.Выяснить, как создаются невозможные фигуры.

2. Найти области применения невозможных фигур.

Задачи исследования:

1.Изучить литературу по теме «Невозможные фигуры».

2.Составить классификацию невозможных фигур.

3.Узнать какое место они занимают в математике.

4.Рассмотреть использование невозможных фигур в творчестве

М.К. Эшера.

5.Найти области применения невозможных фигур.

Предмет исследования: зрительные иллюзии.

Объект исследования: невозможные фигуры.

Тема нашей работы актуальна ведь понимание парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники. Многие работы с нереальными объектами можно отнести к «интеллектуальным математическим играм». Моделировать подобный мир можно только с помощью математических формул, человек представить его просто не в состоянии. И для развития пространственного воображения оказываются полезными невозможные фигуры. Человек неустанно мысленно создает вокруг себя то, что для него будет просто и понятно. Он даже не может себе представить, что некоторые объекты, окружающие его, могут быть «невозможными». На самом деле мир един, но рассматривать его можно с разных сторон.

Изучая литературу по данному вопросу, мы пришли к выводу, что этой темой в основном занимаются зарубежные ученые.

Надеемся, что и в нашей стране исследования в этой области со временем затронут людей самых разных профессий.

1. Немного истории

Психологами установлено, что глаз начинает осмотр объекта (картины) с левого нижнего угла, затем взгляд скользит направо к центру и опускается в правый нижний угол картины. Такая траектория, возможно, связана с тем, что наши предки при встрече с противником сначала смотрели на самую опасную правую руку, а затем взгляд перемещался влево, на лицо и фигуру. Таким образом, художественное восприятие будет существенно зависеть от того, как строится композиция картины. Данное свойство с успехом использовали при создании творений с невозможными объектами, увеличивая или уменьшая "степень невозможности".

Невозможные фигуры достаточно часто встречаются на древних гравюрах, картинах и иконах — в одних случаях мы имеем дело с явными ошибками передачи перспективы, в других — с умышленными искажениями, обусловленными художественным замыслом.

Наиболее старый из известных на сегодняшний день примеров найден среди миниатюр перикопы Генриха II, собранной до 1025 года и хранящийся сегодня в Bayerische Staatsbibliothek в Мюнхене. "Мадонна с ребенком", взятая из "Поклонения волхвов" (Adoration of the Magi) содержит центральную колонну, которая должна оканчиваться на переднем плане. Однако если она была бы так нарисована, то она загородила бы фигуру Богородицы. Вместо этого, верхняя часть колонны изображена на переднем плане, а нижняя – на заднем, формируя невозможный объект.

В 1902 году в церкви Grote Kerk в г. Бреда (Голландия) под более поздними слоями была обнаружена фреска XV в. размером 2.7x2.5 метров. Замечательно сохранившаяся, она показывает сцену Благовещения. Сцена ограничена двумя арками, поддерживаемыми тремя колоннами. Две внешние колонны изображены на переднем плане, в то время как центральная колонна заканчивается на заднем плане за столом. В результате плоская стена находится в двух плоскостях одновременно. Первый историк, описывавший фреску, обратил вниманием на эту любопытную особенность, описав ее как "красная колонна, неправильно расположенная в перспективе". Однако художник точно знал, почему он сделал эту ошибку: он не хотел, чтобы картина была разделена колонной на две части. Данный невозможный объект схож с миниатюрой из перикопы как сюжетом произведения, так и причиной, по которой колонны изображены подобным образом.

В средневековой японской и персидской живописи невозможные объекты являются неотъемлемой частью восточного художественного стиля, дающего лишь общий набросок картины, детали которой «приходится» додумывать зрителю самостоятельно, в соответствии со своими предпочтениями. Вот перед нами школа. Наше внимание привлекает архитектурное сооружение на заднем плане, геометрическая противоречивость которого очевидна.

Его можно интерпретировать и как внутреннюю стену комнаты, и как наружную стену здания, но обе эти интерпретации неправильны, поскольку мы имеем дело с плоскостью, одновременно являющуюся и внешней, и наружной стенкой, то есть, на картине изображен типичный невозможный объект.

2. Мир невозможных фигур

Невозможные объекты – феномен, который не может существовать, но который мы можем увидеть. Они завораживают воображение и дразнят зрителя своим таинственным очарованием. Они проливают свет на нечто особенное в процессе зрительного восприятия, то, как наш мозг вынужден сталкиваться с ситуацией зрительного конфликта, с которым он никогда не встречается в реальном мире.

Несмотря на значительное количество публикаций о невозможных фигурах их четкого определения по существу не сформулировано. Процесс восприятия невозможных объектов делится на два этапа: опознание фигуры как трехмерного объекта и осознание "неправильности" объекта и невозможности его существования в трехмерном мире. Невозможные объекты представляют собой рисунки на плоскости (двухмерные изображения), исполненные так, что у зрителя создается впечатление о невозможности существования подобной структуры в нашем реальном трехмерном мире. «Невозможная фигура — это выполненный на бумаге трехмерный объект, который не может существовать в действительности, но который, однако, можно видеть как двухмерное изображение»¹.

2.1. Виды невозможных фигур

Невозможные фигуры можно разделить на 4 группы.

Невозможный треугольник

 Эта фигура появилась в 1958 году. Её авторы, отец и сын Лайонелл и Роджер Пенроузы, генетик и математик соответственно, определили этот объект как «трехмерную прямоугольную структуру». Она также получила название «трибар». С первого взгляда трибар кажется просто изображением равностороннего треугольника. Но стороны, сходящиеся вверху рисунка, кажутся перпендикулярными. В тоже время левая и правая грани внизу тоже кажутся перпендикулярными. Если смотреть на каждую деталь отдельно, то она кажется реальной, но, в общем, эта фигура существовать не может. Она не деформирована, но при черчении были неправильно соединены правильные элементы.

Каждая часть фигуры (углы треугольника) по отдельности существует в нашем мире, но их комбинация в трехмерном пространстве невозможна. Восприятие всей фигуры как композиции неправильных соединений между ее реальными частями ведет к обманчивому эффекту невозможной структуры. Взгляд скользит по граням невозможной фигуры и не способен воспринять ее как логическое целое. В действительности взгляд пытается восстановить реальную трехмерную структуру (см. рисунок), но наталкивается на несоответствие.

С геометрической точки зрения невозможность треугольника состоит в том, что три балки, соединенные попарно одна с другой, но по трем разным осям декартовой системы координат, образуют замкнутую фигуру!

Бесконечная лестница

Эту фигуру чаще всего называют «Бесконечной лестницей», «Вечной лестницей» или «Лестницей Пенроуза» – по имени ее создателя. Ее также называют «непрерывно восходящей и нисходящей тропой».

Впервые эта фигура была опубликована в 1958 году. Перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх или вниз, но при этом, человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он окажется в начале пути.

Космическая вилка

Следующая группа фигур под общим названием «Космическая вилка». С этой фигурой мы входим в самую сердцевину и суть невозможного. Может быть, это самый многочисленный класс невозможных объектов.

 Этот пресловутый невозможный объект с тремя (или с двумя?) зубцами стал популярен у инженеров и любителей головоломок в 1964 году. Первая публикация, посвященная необычной фигуре, появилась в декабре 1964 года. Автор назвал ее «Скобой, состоящей из трех элементов». Если закрыть рукой верхнюю часть трезубца, то мы увидим вполне реальную картину - три круглых зуба. Если закрыть нижнюю часть трезубца, то мы тоже увидим реальную картину - два прямоугольных зубца. Но, если рассматривать всю фигуру целиком, то получается, что три круглых зубца постепенно превращаются в два прямоугольных. Таким образом, можно увидеть, что передний и задний планы данного рисунка конфликтуют. Кроме смены переднего и заднего планов в данном рисунке присутствует еще один эффект  – плоские грани верхней части трезубца становятся круглыми в нижней.

С практической точки зрения этот странный трезубец или механизм в виде скобы, абсолютно неприменим. Некоторые называют его просто «досадной ошибкой». Один из представителей аэрокосмической промышленности предложил использовать его свойства при конструировании межпространственного космического камертона.

Невозможные ящики

Еще один невозможный объект появился в 1966 году в Чикаго в результате оригинальных экспериментов фотографа доктора Чарльза Ф. Кокрана. "Волшебная" фотография этой фигуры была опубликована в июньском номере Scientific American magazine от 1966 года. Многие любители невозможных фигур проводили эксперименты с "Сумасшедшим ящиком", в результате чего эта фигура вошла в классическую "Большую Четверку" вместе с "Невозможным треугольником", "Бесконечной лестницей" и "Космической вилкой". Первоначально автор назвал ее "Свободным ящиком" и заявил, что она была "сконструирована для пересылки невозможных объектов в большом количестве". Многие также замечали, что ящик вполне подходит для помещения в него разных штуковин и других неопознанных объектов.

«Сумасшедший ящик» – это вывернутый наизнанку каркас куба. Непосредственным предшественником «Сумасшедшего ящика» была «Невозможная коробка» (автор Эшер), а ее предшественником в свою очередь стал куб Неккера. 

Он не является невозможным объектом, однако представляет собой фигуру, в которой параметр глубины может восприниматься неоднозначно. Куб Неккера был впервые описан в 1832 году швейцарским кристаллографом Льюисом А. Неккером, который заметил, что кристаллы иногда зрительно меняют форму, когда на них смотришь. На куб Неккера можно посмотреть как на плоскость, располагающуюся в двухмерном пространстве. Однако, из-за особенностей зрения, мы легче воспринимаем трехмерные объекты, чем двухмерные. Когда мы вглядываемся в куб Неккера, то замечаем, что грань куба с точкой находится то на переднем, то на заднем плане, она перепрыгивает из одного положения в другое. Наше восприятие ищет этому подходящее объяснение. Но остается загадкой, так как наш опыт и накопленные знания влияют на восприятие. Эти факторы очень важны при создании удивительных фигур, но, как и в кубе Неккера, они "замедляют" восприятие. Куб Неккера является главным источником для создания всех невозможных объектов кубической формы.

2.2. Оскар Реутерсвард – «отец» невозможной фигуры

«Отцом» невозможных фигур считается шведский художник Оскар. Реутерсвард. Специалист по созданию изображений невозможных фигур  утверждал, что плохо разбирается в математике, но, тем не менее, возвел свое искусство в ранг науки, создав целую теорию создания  невозможных фигур по определенному ряду шаблонов.

Первой невозможной фигурой, нарисованной в 1934 г., был псевдотреугольник, состоящий из девяти кубиков. Он появился случайно на уроке латинской грамматики, когда художник рисовал геометрические фигуры. Самым сложным было осознать, что случайно нарисованная фигура парадоксальна и противоречит эвклидовой геометрии.

Тогда у него и зародился некий интерес к этому явлению. В дальнейшем он варьировал тему треугольника, которая через несколько лет развилась в невозможные соединения из четырех или большего количества балок (см. приложения). В те годы невозможные явления в искусстве не вызывали особого интереса, который возник через двадцать лет.

Однажды Оскару Реутерсварду попал в руки Британский журнал по психологии со статьей, которая давала профессиональную информацию о принадлежности конструкций Реутерсварда к миру математики и о возможности дать им определение. Статья была написана в 1958 г. Роджером Пенроузом профессором математики, и опубликованная в ней «невозможная фигура» впервые в истории рассматривалась с научной точки зрения. Эта фигура была представлена под названием « трехбалочник» и состояла из трех балок, образующих псевдотреугольник (рис. 1). Публикуя эту конструкцию, Пенроуз хотел продемонстрировать психологам «новый вид оптической иллюзии».

Оскар Реутерсвард разделил фигуры на две основные группы. Одну из них он назвал «истинные невозможные фигуры». Это двухмерные изображения трёхмерных тел, которые на бумаге можно раскрасить и нанести на них тени, но у них нет монолитной и стабильной глубины. Два треугольника Реутерсварда проходят друг через друга таким образом, что образуются шесть невозможных треугольных комбинаций (рис. 1).

Рисунок 1

Рисунок 2

Другой вид – сомнительные невозможные фигуры. Эти фигуры не представляют собой единых цельных тел. Они являются соединением двух или большего числа фигур (рис. 2). Истинная невозможная фигура состоит из фиксированного количества возможных элементов, а сомнительная «теряет» некоторое количество элементов, если за ними проследить глазами.

Один вариант  этих невозможных фигур очень легко выполнить,  и  многие из тех, кто машинально чертит геометрические фигуры, когда разговаривает по телефону, это уже не раз делали. Нужно провести пять, шесть или семь параллельных линий, закончить эти линии в разных концах по-разному – и  невозможная фигура готова. Если, например, провести пять параллельных линий, то  их   можно  закончить как две балки с одной стороны  и  три с другой.

За свою жизнь Реутерсвард изобразил около 2500 фигур. Книги Реутерсварда опубликованы на многих языках, в том числе на русском. В Швеции в 1982 году выпустили серию почтовых марок с тремя рисунками Реутерсварда (см. приложения).

2.3. Невозможные фигуры — возможны!

Ранее было сказано, что невозможный объект выглядит невозможным только с единственной точки зрения, а так как мы обозреваем объект с двух точек зрения, то мы сразу же видим те уловки, при помощи которых создан тот или иной объект.

Значит ли это, что в реальности все же увидеть невозможный объект нельзя? Нет, можно. Если вы закроете один глаз и будете смотреть на фигуру, то она будет выглядить невозможной. Поэтому в музеях при демонстрации невозможных фигур заставляют посетителей смотреть на них сквозь небольшое отверстие в стене одним глазом.

Любой рисунок на листе бумаги - это проекция трехмерной фигуры. Следовательно, любая фигура, нарисованная на листе бумаги, должна существовать в трехмерном пространстве. Невозможные объекты на картинах представляют собой проекции трехмерных объектов, а значит, объекты можно реализовать в виде скульптурных композиций (трехмерных объектов). Существует множество способов их создания. Один из них - использование кривых линий в качестве сторон невозможного треугольника. Созданная скульптура выглядит невозможной только из единственной точки. Из этой точки кривые стороны выглядят прямыми, и поставленная цель будет достигнута - создан реальный "невозможный " объект.

Рисунок 3

Как можно заметить, в данной фигуре вообще нет прямых линий, все элементы фигуры изогнуты определенным образом (рис. 3). Однако, эффект невозможности заметен лишь при одном угле обзора, когда все изогнутые линии проецируются в прямые, и, если не обращать внимания на некоторые тени, фигура выглядит невозможной.

Еще один способ создания невозможного треугольника был предложен сотрудником факультета компьютерных наук института Technion в Израиле Элбером Гершоном (Gershon Elber). Предложенный им вариант невозможного треугольника (рис. 4) был сначала спроектирован на компьютере, а затем воссоздан в реальности при помощи трехмерного принтера. Если сместить немного угол обзора невозможного треугольника, то мы увидим фигуру, подобную второй фотографии на рис. 3. Все ребра данной конструкции являются прямыми линиями, а грани изогнуты, хотя на фронтальном виде фигуры этой изогнутости не видно.

Рис. 4. Вариант построения невозможного треугольника Элбера Гершона.

Стоит отметить, что если бы мы смотрели сейчас на сами фигуры, а не на их фотографии, то мы бы сразу увидели, что ни одна из представленных фигур не является невозможной, и в чем заключается секрет каждой из них? Мы бы просто не смогли бы увидеть эти фигуры невозможными, так как мы обладаем стереоскопическим зрением. То есть наши глаза, расположенные на определенном расстоянии друг от друга, видят один и тот же объект с двух близких, но все же разных, точек зрения, и наш мозг, получив два изображения от наших глаз совмещает их в единую картину. Невозможный объект выглядит невозможным только с единственной точки зрения, а так как мы обозреваем объект с двух точек зрения, то мы сразу же видим те уловки, при помощи которых создан тот или иной объект (см. приложения).

Существует и еще один способ, при помощи которого можно увидеть невозможную фигуру, причем двумя глазами сразу. Этот способ пока что никем не реализован из-за своей дороговизны. Заключается он в следующем: необходимо создать огромную фигуру высотой с многоэтажный дом, расположить ее на обширном открытом пространстве и смотреть на нее с очень большого расстояния. В этом случае, даже смотря на фигуру двумя глазами, вы будете воспринимать ее как невозможную вследствие того, что оба ваших глаза будут получать изображения практически ничем не отличающиеся друг друга.

Сегодня во всём мире существуют клубы любителей невозможных фигур. Созданы даже специальные компьютерные программы, рисующие сложные невозможные фигуры и создающие динамические невозможные анимации. Элбер Гершон занимается моделированием невозможных объектов на компьютере. Промоделированные объекты обретают свое материальное воплощение при помощи трехмерных принтеров.

Российский программист Влад Алексеев создал две интересные программы для построения невозможных объектов — Impossible Puzzle и Impossible Constructor. Программы предназначены для создания изображений невозможных фигур из элементарных треугольников путем складывания мозаики. Комбинируя треугольники, можно получить большое количество невозможных фигур.

Невозможные фигуры находят иногда неожиданное применение. Оскар Реутерсвард рассказывает об использовании рисунков имп-арта для психотерапии. Он пишет, что «картины своими парадоксами вызывают удивление, заостряют внимание и желание расшифровать. В Швеции их применяют в зубоврачебной практике: рассматривая картины в приемной, пациенты отвлекаются от неприятных мыслей перед кабинетом стоматолога»².
Невозможные фигуры активно используют в рекламе, в дизайне одежды, интерьера дома. За рубежом, на улицах городов, можно увидеть архитектурные воплощения невозможных фигур (см. приложения).

3. Математическое искусство М. К. Эшера

Имп-арт (imp-art, impossible art - невозможное искусство) представляет собой самостоятельное направление оп - арта и применяется для создания оптических иллюзий, невозможных фигур и передачи объема предметов, расположенных на плоскости. Элементы изображения, выполненные по законам имп-арта, невозможно воспринимать однозначно, и для каждого человека, взглянувшего на полотно, картина будет видеться по-своему. Художнику, избравшему для себя имп-арт в качестве основного направления деятельности, необходимо обладать не только талантом, но и определенной долей мастерства, чтобы предоставить на суд зрителя иллюзию объема, перспективы, а попросту ловко и очень тактично обмануть, создав ощущение пространства там, где его нет. М.К. Эшер, являющийся одним из самых ярких представителей имп-арта, говорил: «Рисовать – значит обманывать».

3.1. Биография художника

Морис Корнелис Эшер (Maurits Cornelis Escher) родился в 1898 году в Леевардене (Голландия). Он увлекался рисованием с детства и в юности познакомился с технологией формирования печатного рисунка. В 1921 году семья Эшеров посетила Ривьеру и Италию. Молодой Морис был очарован пейзажами и растительностью средиземноморья. Эта любовь к природе южной Европы осталась с ним на всю жизнь. Потом он не раз возвращался в Италию.

Во время одного из путешествий в Италию Эшер проездом посетил Альгамбру (Испания), где познакомился с арабским декоративным искусством. В Италии в 1923 году Эшер женился на дочери швейцарского промышленника Джетте Умикер. Они прожили в Италии более десяти лет, после чего в 1935 году переехали Швейцарию, а чуть позже в Бельгию.

В 1936 году Эшер вторично посетил Альгамбру для детального изучения мавританских мозаик. После этой поездки художник начал активно экспериментировать с изображением мозаичных изображений. В 1940 году после смерти матери Эшер с Джеттой переехали в оккупированную Бельгию и купили дом в Барне, где художник и прожил до конца своих дней.

По окончании Второй Мировой Войны Эшер обрел настоящую популярность. Его работы оказались оценены математиками. В период с 1950 по 1960 годы он создал свои наиболее известные картины в том числе и с невозможными конструкциями. В начале 1960-х годов Эшер выступил с лекциями в Кебридже (Англия) и в США.

Несмотря на плохое самочувствие Эшер продолжал создавать свои гениальные гравюры. Умер художник в 1972 году.

Морис Корнелис Эшер создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей.

До начала 50-х годов он не был широко известен, но после ряда выставок и статей в американских журналах (Time и др.) он получает мировую известность. Среди его восторженных поклонников были и математики, которые видели в его работах оригинальную визуальную интерпретацию некоторых математических законов. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования.

В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии. Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе «невозможными фигурами». Парадоксальные идеи Роджера Пенроуза были использованы во многих работах Эшера. Наиболее интересными для изучения идеями Эшера являются всевозможные разбиения плоскости и логика трехмерного пространства.

3.2. Мозаики

Регулярное разбиение плоскости, называемое «мозаикой» — это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми видами мозаик — регулярными и нерегулярными (нерегулярные мозаики образуют неповоряющиеся узоры) - а также ввел собственный вид, который назвал «метаморфозами», где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.

В 1957 году в своем эссе о мозаиках Эшер написал: «В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически… Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь, ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней».

Математики доказали, что для регулярного разбиения плоскости  подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник. (Нерегулярных вариантов разбиения плоскости гораздо больше. В частности, в мозаиках иногда используются нерегулярные мозаики, в основу которых положен правильный пятиугольник). Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражение, смещение и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искаженные образцы мозаик имели трех-, четырех- и шести-направленную симметрию, таким образом сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и щелей.

Регулярное разбиение плоскости птицами		Рептилии	Цикл		Эволюция 1

В гравюре «Рептилии» маленькие крокодилы играючи вырываются из тюрьмы двухмерного пространства стола, проходят кругом, чтобы снова превратиться в двухмерные фигуры. Мозаику рептилий Эшер использовал во многих своих работах. В «Эволюции 1» можно проследить развитие искажения квадратной мозаики в центральную фигуру из четырех ящериц.

3.3. Многогранники

Правильные геометрические тела — многогранники — имели особое очарование для Эшера. Во многих его работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. Существует лишь пять правильных многогранников, то есть таких тел, все грани которых состоят из одинаковых правильных многоугольников. Они еще называются телами Платона. Это — тетраэдр, гранями которого являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр, имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью треугольными гранями. На гравюре «Четыре тела» Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

Четыре тела Порядок и хаос Звезды

Большое количество различных многогранников может быть получено объединением правильных многогранников, а также превращением многогранника в звезду. Для преобразования многогранника в звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой, основанием которой является грань многогранника. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе «Порядок и хаос». В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы.

Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах Эшера. Наиболее интересной среди них является гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. Таким образом, нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера.

3.4. Форма пространства

Три пересекающиеся  плоскости

Среди наиболее важных работ Эшера с математической точки зрения являются картины, оперирующие с природой самого пространства. Литография "Три пересекающиеся плоскости" демонстрирует интерес художника к размерности пространства и способность мозга распознавать трехмерные изображения на двухмерных рисунках.

Кроме особенностей евклидовой и неевклидовой геометрий, Эшера интересовали визуальные аспекты топологии³. Одним из наиболее известных объектов топологии является лента Мебиуса, которая встречается во многих работах Эшера. Это может показаться странным, но у этой поверхности есть только одна сторона и одна кромка. Если проследить путь муравьев на литографии "Лента Мебиуса II", то можно увидеть, что муравьи ползут не по противоположным поверхностям ленты, а по одной и той же.

3.5. Логика пространства

Под "логикой" пространства мы понимаем те отношения между физическими объектами, которые обычны для реального мира, и при нарушении которых возникают визуальные парадоксы, называемые еще оптическими иллюзиями. Большинство художников, экспериментирующие с логикой пространства, изменяют эти отношения между объектами, основываясь на своей интуиции, как, например, Пикассо.

Эшер понимал, что геометрия определяет логику пространства, но и логика пространства определяет геометрию.

Один из аспектов логики пространства - перспектива. На рисунках, в которых присутствует эффект перспективы, выделяют так называемые точки исчезновения, которые сообщают глазу человека о бесконечности пространства.  Изучение особенностей перспективы началось еще во времена возрождения художниками Альберти, Дизаргом и многими другими. Их наблюдения и выводы легли в основу современной геометрии проекций. Вводя дополнительные точки исчезновения и немного изменяя элементы композиции для достижения нужного эффекта, Эшер смог изобразить картины, в которых изменяется ориентация элементов в зависимости от того, как зритель смотрит на картину. На картине "Сверху и снизу" художник разместил сразу пять точек исчезновения - по углам картины и в центре. В результате, если мы смотрим на нижнюю часть картины, то создается впечатление, что мы смотрим вверх. Если же обратить взгляд на верхнюю половину картину, то кажется, что мы смотрим вниз. Чтобы подчеркнуть этот эффект, Эшер изобразил два вида одной и той же композиции.

Еще один тип картин с нарушенной логикой пространства - это "невозможные фигуры". Парадокс невозможных фигур основан на том, что наш мозг всегда пытается представить нарисованные на бумаге двухмерные рисунки как трехмерные. Эшер создал много работ, в которых обратился к этой аномалии.

Наиболее интересная работа - литография "Водопад" - основана на фигуре невозможного треугольника, придуманного математиком Роджером Пенроузом. В этой работе два невозможных треугольника соединены в единую невозможную фигуру. Создается впечатление, что водопад является замкнутой системой, работающей по типу вечного двигателя, нарушая закон сохранения энергии.

Использование Эшером различных математических фигур и законов не ограничивается лишь вышеприведенными примерами (см. приложение). Внимательно изучая его картины, можно обнаружить и другие геометрические тела или визуальную интерпретацию математических законов. Мы рассмотрели лишь небольшую часть работ из сотен набросков и литографий и гравюр, оставшихся после смерти Эшера в 1972 году. Еще многое будет сказано и уже сказано о значении и важности его работ. С каждым годом появляется все больше и больше книг, где освещается творчество художника, анализируются различные аспекты его творчества.

Над секретом Эшера до сих пор ломают головы дизайнеры всего мира. Однако пока еще никому не удалось разгадать тайну гениального художника, а его панно, выложенные самыми невероятными рисунками, — плоды мастерства и воображения, украшают лишь стены музеев да еще… редкие частные коллекции. Современные бизнесмены делают хорошие деньги на имени Мориса Эшера, продавая товары с использованием его мозаических рисунков (см. приложения).

В XXI веке популярность художника необычно возросла. Его литографии, гравюры на дереве можно увидеть в кабинетах математиков и других ученых во всех уголках мира.  

Заключение

Невозможные объекты заставляют наш разум сначала увидеть то, чего по нашим привычным меркам быть не должно, затем искать ответ - что же сделано не так, в чем скрыта изюминка парадокса. А ответ найти порой не так - то просто - он скрыт в оптическом, психологическом, логическом восприятии рисунков. Для творческих людей, склонных к изобретательству, невозможные фигуры являются своеобразным рычагом для создания чего-то нового, необычного. Развитие технических исследований, необходимость мыслить по-новому, поиски прекрасного - все эти требования современной жизни заставляют искать новые способы, которые способны направить творческие возможности человека в новое русло, изменить пространственное мышление, воображение.

Изучив литературу по теме, мы смогли ответить на вопрос «Существуют ли в реальном мире невозможные фигуры?». Мы поняли, что невозможное возможно и нереальные фигуры можно сделать своими руками. Вдохновившись творчеством М.К. Эшера, мы сделали мозаику в его стиле. Нам удалось показать, что:

• Все невозможные фигуры могут существовать в реальном мире;

• Найдется ещё много областей, в которых будут использоваться невозможные фигуры.

Работа может быть использована на занятиях по математике, рисованию, информатике для развития пространственного мышления учащихся.

Исследования невозможных фигур затронули людей самых разных профессий: психологов, врачей, художников, математиков, архитекторов, дизайнеров, оптиков и многих других.

Таким образом, можно сказать, что мир невозможных фигур чрезвычайно интересен и многообразен. Изучение невозможных фигур имеет довольно важное значение не только с точки зрения геометрии, но и с точки зрения искусства.

Список литературы

1. Левитин К. Геометрическая рапсодия. — М.: Знание, 1984, -176 с.

2. Пенроуз Л., Пенроуз Р. Невозможные объекты, Квант, № 5,1971, с. 26

3. Раков Д. Невозможная реальность, Наука и жизнь, № 9, 2005, с.94

4. Реутерсвард О. Невозможные фигуры. – М.: Стройиздат,1990, 206 с.

5. Ткачева М.В. Вращающиеся кубики. – М.: Дрофа, 2002. – 168 с.

Интернет - ресурсы

1. http://im-possible.info/russian/index.html

2. www.impworld.narod.ru.

Сайт В. Алексеева

3. http://www.rakov.de.

Сайт Д. Ракова

4. http://www.mcescher.com
Официальный сайт М.К. Эшера.

1^ Пенроуз Л., Пенроуз Р. Невозможные объекты, Квант, № 5,1971, стр. 26

2^ Раков Д. Невозможная реальность, Наука и жизнь, № 9, 2005, с.95

3^ Тополо́гия (от др.-греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение) — раздел математики, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в частности свойства пространств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях.

7