Исследовательский реферат по теме "Признаки делимости чисел"

АННОТАЦИЯ

Мустафин Рустам Равильевич

МБОУ «СОШ№3», 6 класс

«Признаки делимости»

руководитель: Меньщикова Галина Викторовна, МБОУ «СОШ№3», учитель математики.

Цель работы: создание таблицы делимости чисел. Методы проведенных исследований: анализ литературных источников, эмпирический метод: анализ систем знаний о признаках делимости, обобщение.

Основные результаты исследования: изучены признаки делимости на простые числа, выведены признаки делимости на составные числа и создана таблица делимости на числа от 2 до 20, на 25 и 125.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение_______________________________________________________2

2. Признак Паскаля и его частные случаи_____________________________ 3

3. Признаки делимости на составные числа____________________________5

4. Таблица признаков делимости_____________________________________6

5. Заключение_____________________________________________________7

6. Список литературы_______________________________________________8

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность:

Математика – одна из великих наук, изучением которой занимались многие великие ученые, такие как Декарт, Паскаль и другие. Одним из важнейших понятий арифметики целых неотрицательных чисел является понятие делимости.

На уроках математики мы изучали признаки делимости на 2, 5, 3, 9, 10. И стало интересно, существуют ли другие признаки делимости, откуда они возникли? Наверняка, существуют более интересные и сложные признаки.

Гипотеза: я предполагаю, что существуют другие признаки делимости.

Цель работы: создание таблицы делимости чисел.

В данной работе проведено исследование признаков делимости на натуральные числа от 2 до 20, на 25 и на 125, кроме тех, что мы изучаем в школьном курсе математики. Я хочу научиться их применять и познакомить с ними других учащихся.

Для достижения данной цели в исследовательском реферате были поставлены следующие задачи:

1. Познакомиться по различным источникам с признаками делимости чисел;

2. Систематизировать полученную информацию;

3. Обобщить результаты исследования и представить их в виде таблицы.

Степень разработанности проблемы:

Изучением признаков делимости занимались с древних времен. Великий французский ученый Блэз Паскаль нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, решение вопроса о делимости чисел признаки делимости сводят к действиям над небольшими числами в уме. Практически все известные ныне признаки делимости являются частным случаем признака Паскаля. Достаточно много различной информации можно найти в книгах, энциклопедиях, Интернете [1].

Новизна результатов исследования заключается в том, что данная работа систематизирует знания о признаках делимости и, думаю, что многие ровесники и старшеклассники не знают, что существуют другие признаки делимости, кто их открыл. А, ведь знание их значительно упрощает процесс вычисления.

В ходе написания исследовательского реферата использованы следующие методы научного исследования: анализ литературных источников, эмпирический метод: анализ систем знаний о признаках делимости, обобщение.

ПРИЗНАК ПАСКАЛЯ И ЕГО ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ

Блэз Паскаль (19.6.1623— 19.8.1662) – один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль умер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем названы единица давления (паскаль) и весьма популярный сегодня язык программирования [2].

  Круг математических интересов Паскаля был весьма разнообразен. Паскаль нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число (трактат «О характере делимости чисел»)[3].

Чтобы узнать, делится ли число А на число В, не всегда нужно выполнять письменно деление. В некоторых случаях это можно узнать по десятичной записи чисел. Пусть есть натуральное число записываемое в десятичной системе как ,  где — единицы, — десятки и т. д.

Пусть — произвольное натуральное число, на которое мы хотим делить и выводить признак делимости на него.

Находим ряд остатков по следующей схеме:

— остаток от деления на

— остаток от деления на

— остаток от деления на

…

— остаток от деления на .

Формально:

Так как остатков конечное число (а именно ), то этот процесс зациклится (не позже, чем через шагов) и дальше можно его не продолжать: начиная с некоторого , где — получившийся период последовательности . Для единообразия можно принять, что .

Тогда имеет тот же остаток от деления на , что и число

[1].

В энциклопедиях признак Паскаля описывают следующим образом:

• Признак делимости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному без необходимости выполнять фактическое деление. Как правило, основано на действиях с частью цифр из записи числа в позиционной системы счисления (обычно десятичной)[3].

• Признак Паскаля — универсальный признак делимости, позволяющий для любых целых a и b определить, делится ли a на b [1].

Основные частные случаи

Признак делимости на 2: число делится на 2 без остатка тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру.

Признаки делимости на 3 и 9: число делится на 3 (9) без остатка тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 3 (9).

Признак делимости на 4: число делится на 4 без остатка тогда и только тогда, когда если число, состоящее из двух его последних цифр, делится на 4.

Признак делимости на 5: число делится на 5 без остатка тогда и только тогда, когда оно заканчивается на цифру 5 или 0.

Признак делимости на 7 и на 13. Чтобы узнать, делится ли натуральное число на 7 или на 13, надо разбить его десятичную запись справа налево на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может содержать две или одну цифру) и взять группы с нечетными номерами со знаком минус, а с четными номерами со знаком плюс. Если значение получившегося выражения делится на 7 (соответственно на 13), то и заданное число делится на 7 (соответственно на 13) [5].

Признак делимости на 11: Число делится на 11 без остатка тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 [5].

Признак делимости на 17: число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 [4].

Признак делимости на 19: число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 [4].

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НА СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА

Зная основные признаки делимости на простые числа, можно вывести признаки делимости на составные числа:

Признак делимости на 6: число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и сумма цифр делится на 3.

т.к. 6 = 2 ∙ 3, т.е. число должно делиться на 2 и на 3.

Признак делимости на 12: число делится на 12 тогда и только тогда, когда две последние цифры делятся на 4 и сумма цифр делится на 3.

т.к. 12= 4 ∙ 3, т.е. число должно делиться на 4 и на 3.

Признак делимости на 14: число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

т.к. 14= 2 ∙ 7, т.е. число должно делиться на 2 и на 7.

Признак делимости на 15: число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 5 и на 0 и сумма цифр делится на 3.

т.к. 15= 3 ∙ 5, т.е. число должно делиться на 3 и на 5.

Признак делимости на 18: число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и сумма его цифр делится на 9.

т.к18= 2 ∙ 9, т.е. число должно делиться на 2 и на 9.

Признак делимости на 20: число делится на 20 тогда и только тогда, когда число заканчивается на 0 и предпоследняя цифра четная.

т.к. 20 = 10 ∙ 2 т.е. число должно делиться на 2 и на 10.

Признак делимости на 25: число, содержащее не менее трех цифр, делится на 25 тогда и только тогда, когда делится на 25 число, образованное двумя последними цифрами.

Признак делимости на 125: число, содержащее не менее четырех цифр, делится на 125 тогда и только тогда, когда делится на 125 число, образованное тремя последними цифрами.

Все выше перечисленные признаки обобщены в виде таблицы.

ТАБЛИЦА ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате изучения различной литературы, гипотеза была подтверждена. Действительно, существуют другие признаки делимости, кроме тех которые мы изучаем в школьном курсе математики. Вывел общий признак делимости великий французский ученый Паскаль. Практически все известные ныне признаки делимости являются частным случаем признака Паскаля.

Систематизировав полученную информацию, зная основные признаки делимости на простые числа, я вывел признаки делимости на составные числа. Полученные результаты были сведены в одну таблицу. С данными этой таблицы я планирую ознакомить учащихся своего класса. Применение этих признаков позволит им значительно упростить процесс вычисления.

Цель достигнута, были изучены признаки делимости от 2 до 20, на 25 и на 125.

Надеюсь, эта работа привлечет интерес к математике.

ЛИТЕРАТУРА

1. Воробьев Н.Н. Признаки делимости—4-е изд.—М.:Наука, 1988.— С. 96.

2. Яковлин М.В. Свойства чисел, аналогичных теореме Безу, «математика в школе», 1991, №6.

3. http://dic.academic.ru/ (Википедии — свободной энциклопедии).

4. http://www.bymath.net (энциклопедия).

5. Виленкин Н.Я. Алгебра 8 кл. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.-М. Просвещение, 1995.

8