Просмотр содержимого документа
«Конспект урока по математике по теме :"Логарифмы"»
План:
- Определение.
- Свойства.
- Десятичные и натуральные логарифмы.
- Логарифмическая функция, ее свойства и график.
- Решение логарифмических уравнений и неравенств.
0, a ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a , чтобы получить b . Основное логарифмическое тождество: a log a b = b , где b0, a0 Действие нахождения логарифма называется логарифмированием . " width="640"
Определение логарифма:
- Логарифмом положительного числа b по основанию a , где a0, a ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a , чтобы получить b .
- Основное логарифмическое тождество:
a log a b = b , где b0, a0
- Действие нахождения логарифма называется логарифмированием .
Свойства логарифмов:
- Log a (bc)=log a b+ log a c
- Log a ( b /с)= log a b-log a c
- Log a b r =rlog a b
- Log a b=log c b / log c a
- Log a b=1 / log b a
- a log b c = c log b a
- Log a r b=1/r log a b
- a log a b = b
Десятичные и натуральные логарифмы:
- Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10. Записывается lgb
- Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e , где e -иррациональное число, приближенно равное 2,7. При этом записывается lnb
0, если a 1, и убывающей, если 0 Если a1 , то функция y=log a x принимает положительные значения при x1 , отрицательные при 0 1. Если 0 то функция y=log a x принимает положительные значения при 0 1, отрицательные при x 1. Логарифмическая функция y=log a x и показательная функция y=a x , где a0, a ≠ 1, взаимно обратны. " width="640"
Логарифмическая функция.
- Логарифмическая функция: y=log a x
Свойства:
- Множество значений логарифмической функции -множество всех положительных чисел
- Множество значений логарифмической функции-множество R всех действительных чисел.
- Логарифмическая функция y=log a x является возрастающей на промежутке x 0, если a 1, и убывающей, если 0
- Если a1 , то функция y=log a x принимает положительные значения при x1 , отрицательные при 0 1. Если 0 то функция y=log a x принимает положительные значения при 0 1, отрицательные при x 1.
- Логарифмическая функция y=log a x и показательная функция y=a x , где a0, a ≠ 1, взаимно обратны.
1 y=log a x , 0 " width="640"
Логарифмическая функция и её график:
y=log a x , a 1
y=log a x , 0
Логарифмические уравнения
Решить уравнение:
Log 2 ( x +1)+ Log 2 ( x +3)=3
Решение:
Используя свойство логарифма, получаем:
Log 2 ( x +1)( x +3)=3
Из этого равенства по определению логарифма получаем:
( x +1)( x +3)=8.
Теперь раскроем скобки и решим квадратное уравнение x 2 +4x-5=0 , откуда x 1 =1, x 2 =-5
При X 2 =-5 числа ( x+1 и x+3 )
Ответ. X=1
Решение систем:
Решить систему уравнений:
log 2 x - log 2 y = 1,
4y 2 +x - 12= 0.
Решение:
Из первого уравнения выразим x через y :
log 2 x /y=log 2 2, x/y=2, x=2y. Подставив x=2y во второе уравнение системы, получим 4y 2 +2y – 12=0, откуда y 1 = 3 / 2 , y 2 =-2. Найдем значения x : x 1 =3, x 2 =-4. Проверка показывает, что -4 и -2 – постороннее решение.
Ответ. X=3, y= 3 / 2.
3. Используя свойства логарифма, получаем: log 2 (x-3) (x-2 ) ≤ log 2 2. Логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей, поэтому при x3 неравенство log 2 (x-3) (x-2 ) ≤ log 2 2 выполняется при (x-3)(x-2)≤2. Это неравенство можно записать в виде системы уравнений: (x-3)(x-2) ≤2 X3 /////////////// /////// 0 1 3 4 " width="640"
Логарифмические неравенства:
log 2 (x-3) + log 2 (x-2) ≤ 1
Решение:
О.о. X3.
Используя свойства логарифма, получаем:
log 2 (x-3) (x-2 ) ≤ log 2 2. Логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей, поэтому при x3 неравенство log 2 (x-3) (x-2 ) ≤ log 2 2 выполняется при (x-3)(x-2)≤2. Это неравенство можно записать в виде системы уравнений:
(x-3)(x-2) ≤2
X3
/////////////// ///////
0 1 3 4