Контрольная работа по теме "Дробные рациональные уравнения"

В а р и а н т 1

1. Решите уравнение:

а) ; б) = 3.

2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одной дороге длиной 27 км, а обратно возвращался по другой дороге, которая была короче первой на 7 км. Хотя на обратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он все же на обратный путь затратил времени на 10 минут меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из А в В?

В а р и а н т 2

1. Решите уравнение:

а) ; б) = 2.

2. Катер прошёл 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

В а р и а н т 3

1. Решите уравнение:

а) ; б) = 3.

2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по дороге длиной 48 км, обратно он возвращался по другой дороге, которая короче первой на 8 км. Увеличив на обратном пути скорость на 4 км/ч, велосипедист затратил на 1 час меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из пункта А в пункт В?

В а р и а н т 4

1. Решите уравнение:

а) ; б) = 2.

2. Катер прошёл 15 км против течения и 6 км по течению, затратив на весь путь столько же времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 22 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч?

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т 1

1. а) . Общий знаменатель х² – 9.

х² = 12 – х;

х² + х – 12 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х₁ = 3; х₂ = –4.

Если х = 3, то х² – 9 = 0.

Если х = –4, то х² – 9 ≠ 0.

б) = 3. Общий знаменатель х (х – 2).

6х + 5(х – 2) = 3х(х – 2);

6х + 5х – 10 – 3х² + 6х = 0;

–3х² + 17х – 10 = 0;

3х² – 17х + 10 = 0.

D = (–17)² – 4 · 3 · 10 = 289 – 120 = 169, D 0, 2 корня.

x₁ = = 5;

x₂ = .

Если х = 5, то х (х – 2) ≠ 0.

Если х = , то х (х – 2) ≠ 0.

О т в е т: а) –4; б) ; 5.

2. Пусть х км/ч – скорость велосипедиста, с которой он ехал из А в В, тогда (х – 3) км/ч – скорость, с которой он ехал обратно. На путь из А в В он затратил ч, а обратно ч. Зная, что на обратный путь он затратил на 10 мин ( часа) меньше, составим уравнение:

– = . Общий знаменатель 6х (х – 3).

162(х – 3) – 120х – х(х – 3) = 0;

162х – 486 – 120х – х² + 3х = 0;

х² – 45х + 486 = 0.

D = (–45)² – 4 · 486 = 81, D 0, 2 корня.

x₁ = = 27;

x₂ = = 18.

Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но корень х = 27 не удовлетворяет условию задачи (слишком большая скорость для велосипедиста).

О т в е т: 18 км/ч.

В а р и а н т 2

1. а) . Общий знаменатель х² – 16.

3х + 4 = х²;

х² – 3х – 4 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета х₁ = 4; х₂ = –1.

Если х = 4, то х² – 16 = 0.

Если х = – 1, то х² – 16 ≠ 0.

б) = 2. Общий знаменатель х (х – 5).

3х + 8(х – 5) = 2х(х – 5);

3х + 8х – 40 – 2х² + 10х = 0;

–2х² + 21х – 40 = 0;

2х² – 21х + 40 = 0.

D = (–21)² – 4 · 2 · 40 = 441 – 320 = 121, D 0, 2 корня.

x₁ = = 8;

x₂ = = 2,5.

Если х = 8, то х (х – 5) ≠ 0.

Если х = 2,5, то х (х – 5) ≠ 0.

О т в е т: а) –1; б) 2,5; 8.

2. Пусть х км/ч – собственная скорость катера, тогда против течения он шёл со скоростью (х – 3) км/ч, по течению – (х + 3) км/ч и по озеру – х км/ч. Против течения он шёл ч, по течению ч, а по озеру он шёл бы ч. Зная, что на все плавание по реке он затратил бы столько же времени, сколько на плавание по озеру, составим уравнение:

+ = . Общий знаменатель х (х – 3)(х + 3).

12х(х + 3) + 5х(х – 3) = 18(х – 3)(х + 3);

12х² + 36х + 5х² – 15х – 18х² + 162 = 0;

х² – 21х – 162 = 0.

D = (–21)² – 4 · 162 = 441 + 648 = 1089, D 0, 2 корня.

x₁ = = 27;

x₂ = = –6.

Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но х = –6 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 27 км/ч.

В а р и а н т 3

1. а) . Общий знаменатель х² – 1.

х² = 4х + 5;

х² – 4х – 5 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х₁ = 5; х₂ = –1.

Если х = 5, то х² – 1 ≠ 0.

Если х = –1, то х² – 1 = 0.

б) = 3. Общий знаменатель х (х – 3).

5х – 8(х – 3) = 3х(х – 3);

5х – 8х + 24 – 3х² + 9х = 0;

3х² – 6х – 24 = 0;

х² – 2х – 8 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х₁ = 4; х₂ = –2.

Если х = 4, то х (х – 3) ≠ 0.

Если х = –2, то х (х – 3) ≠ 0.

О т в е т: а) 5; б) –2; 4.

2. Пусть х км/ч – скорость, с которой велосипедист ехал из А в В, тогда (х + 4) км/ч – скорость, с которой он ехал обратно. На путь из А в В он затратил ч, а обратно ч. Зная, что на обратный путь он затратил на 1 ч меньше, составим уравнение:

– = 1. Общий знаменатель х (х + 4).

48(х + 4) – 40х – х(х + 4) = 0;

48х + 192 – 40х – х² – 4х = 0;

х² – 4х – 192 = 0.

D₁ = (–2)² + 192 = 196, D₁ 0, 2 корня.

x₁ = 2 + = 2 + 14 = 16;

x₂ = 2 – = 2 – 14 = –12.

Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но корень х = –12 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 16 км/ч.

В а р и а н т 4

1. а) . Общий знаменатель х² – 4.

5х + 14 = х²;

х² – 5х – 14 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х₁ = 7; х₂ = –2.

Если х = 7, то х² – 4 ≠ 0.

Если х = –2, то х² – 4 = 0.

б) = 2. Общий знаменатель х (х – 3).

8х – 10(х – 3) – 2х(х – 3) = 0;

8х – 10х + 30 – 2х² + 6х = 0;

2х² – 4х – 30 = 0;

х² – 2х – 15 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х₁ = 5; х₂ = –3.

Если х = 5, то х (х – 3) ≠ 0.

Если х = –3, то х (х – 3) ≠ 0.

О т в е т: а) 7; б) –3; 5.

2. Пусть х км/ч – собственная скорость катера, тогда против течения он шёл со скоростью (х – 2) км/ч, по течению – (х + 2) км/ч и по озеру – х км/ч. Против течения он шёл ч, по течению ч, а по озеру он шёл бы ч. Зная, что на все плавание по реке он затратил бы столько же времени, сколько на плавание по озеру, составим уравнение:

+ = . Общий знаменатель х (х – 2)(х + 2).

15х(х + 2) + 6х(х – 2) – 22(х – 2)(х + 2) = 0;

15х² + 30х + 6х² – 12х – 22х² + 88 = 0;

х² – 18х – 8 = 0.

D₁ = (–9)² + 88 = 169, D₁ 0, 2 корня.

x₁ = 9 + = 9 + 13 = 22;

x₂ = 9 – = 9 – 13 = –4.

Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но корень х = –4 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 22 км/ч.