МБОУ «Верхнемедведицкая СОШ»
Квадратные уравнения
Цель работы – систематизирование знаний по теме «Квадратные уравнения» .
Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд задач :
- дать определение квадратным уравнениям;
- рассмотреть виды квадратных уравнений;
- изучить способы решения квадратных уравнений;
- ознакомиться с примерами решения квадратных уравнений.
Объектом исследования служат квадратные уравнения.
Предметом являются способы решения квадратных уравнений.
Гипотеза: любое квадратное уравнение можно решить существующими способами.
понятие квадратных уравнений
Квадратные уравнения – это уравнения вида
ax 2 + bx + c = 0 , где x - переменная,
a , b и c - некоторые числа, причём a ≠ 0 .
Число a – первый коэффициент,
число b – второй коэффициент,
число c – свободный член.
Решить квадратное уравнение - значит найти все его корни или установить, что корней нет
Виды квадратных уравнений
Квадратные уравнения
Полные
Неполные
Неприведённые
Приведённые
Полные квадратные уравнения
Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых, у которого коэффициенты a , b и c отличны от нуля
ax 2 + bx + c = 0
6x 2 + 3 x + 1 = 0
a=6 b=3 c=1
Приведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором коэффициент a = 1
x 2 + bx + c = 0
x 2 + 3 x + 5 = 0
a=1 b=3 c=5
Неприведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором коэффициент a ≠ 1
ax 2 + bx + c = 0
3x 2 + 4 x + 2 = 0
a=3 b=4 c=2
0 , то Если D = 0 , то уравнение имеет уравнение имеет уравнение не 2 корня 1 корень имеет корней " width="640"
Решение полных квадратных уравнений
ax 2 + bx + c = 0
1. Определить коэффициенты a , b и c
2. Вычислить дискриминант
D=b 2 – 4ac
Если D
Если D 0 , то
Если D = 0 , то
уравнение имеет
уравнение имеет
уравнение не
2 корня
1 корень
имеет корней
0, корней 2 D 2) 16 x 2 - 8 x + 1 = 0 a = 16 b = -8 c = 1 D = b 2 – 4 ac D = (-8) 2 – 4 · 16 · 1 = 64 – 64 = 0 D = 0, корень 1 " width="640"
Примеры решения полных квадратных уравнений
1) 2 x 2 + x + 5 = 0
3) x 2 - 11x + 30 = 0
a = 2 b = 1 c = 5
a = 1 b = -11 c = 30
D = b 2 – 4 ac
D = b 2 – 4ac
D = 1 2 – 4 · 2 · 5 = 1 – 40 = -39
D = (-11) 2 – 4 · 1 · 30 = 121 – 120 = 1
D 0, корней 2
D
2) 16 x 2 - 8 x + 1 = 0
a = 16 b = -8 c = 1
D = b 2 – 4 ac
D = (-8) 2 – 4 · 16 · 1 = 64 – 64 = 0
D = 0, корень 1
неПолные квадратные уравнения
Неполные квадратные уравнения – это квадратные уравнения, в которых хотя бы один из коэффициентов b или c равен нуля
ax 2 + bx = 0
a ≠ 0, b ≠ 0, с = 0
ax 2 + c = 0
a ≠ 0, b = 0, с ≠ 0
ax 2 = 0
a ≠ 0, b = 0, с = 0
Решение неполных квадратных уравнений
с = 0
b = 0
b = 0, с = 0
ax 2 + bx = 0
ax 2 + c = 0
ax 2 = 0
1. Вынести общий множитель x за скобки
x (ax + b) = 0
2. Разбить уравнение на два равносильных
x = 0 и ax + b = 0
3. Два решения ( один из корней всегда 0 ):
x = 0 и ax + b = 0
ax = - b
1. Перенести с в правую часть уравнения
ax 2 + c = 0
2. Разделить обе части уравнения на а
3. Если
Если
1. Разделить обе части
уравнения на a
x 2 = 0
2. Одно решение
x = 0
Примеры Решения неполных квадратных уравнений
b = 0, с = 0
b = 0
с = 0
1) 6 x 2 + 18 x = 0
1) 3x 2 - 12 = 0
x 2 = 12:3
x · ( 6 x + 18) = 0
x 2 = 4
x = 0 и 6 x + 18 = 0
6 x + 18 = 0
x = -18 : 6
x = - 3
x 1 = 0
x 2 = - 3
2) 2 x 2 - 12 x = 0
x · (2x - 12) = 0
x = 0 и 2 x - 12 = 0
2 x - 12 = 0
x = 12 : 2
x = 6
x 1 = 0
x 2 = 6
1) 6 x 2 = 0
x 2 = 0 : 6
x 2 = 0
x = 0
2) 15 x 2 = 0
x 2 = 0 : 15
x 2 = 0
x = 0
2) 4 x 2 + 36 = 0
x 2 = - 36:4
x 2 = - 9
Корней нет
Решение квадратных уравнений по теореме виета
Теорема Виета
Сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + px + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Итак,
По теореме Виета решаются только приведённые квадратные уравнения (коэффициент a = 1 ).
Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x 2 .
Примеры Решения квадратных уравнений по теореме виета
1)
Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.
Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству .
Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:
Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0
2)
Метод подбора находим корни:
Решение квадратных уравнений методом «переброски»
Метод «переброски» - решение неприведённых и непреобразуемых к виду приведённых с целыми коэффициентами путём их деления на старший коэффициент уравнений к решению приведённых с целыми коэффициентами.
1) умножим (буквально перебросим) все части на а :
2) вводим новую переменную y = ax :
3) решим уравнение с помощью теоремы Виета:
4) вернемся к переменной x . Для этого разделим полученные результаты y 1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на a . Получим:
Примеры Решение квадратных уравнений методом «переброски»
2) 3 x 2 + 10 x + 7 = 0
1) 2 x 2 - 11 x + 15 = 0
умножим все части на 3 :
умножим все части на 2 :
2·2 x 2 - 2·11 x + 2·15 = 0
3·3 x 2 + 3·10 x + 21 = 0
вводим новую переменную y = 3x
вводим новую переменную y = 2x
y 2 - 11y + 30 = 0
y 2 + 10y + 21 = 0
решим с помощью теоремы Виета:
решим с помощью теоремы Виета:
вернемся к переменной x . Для этого разделим полученные результаты y 1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 2 . Получим:
вернемся к переменной x . Для этого разделим полученные результаты y 1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 3 . Получим:
вывод
Таким образом, существуют различные способы, которые позволяют очень быстро и рационально решать любое квадратное уравнение.
источники
https://studbooks.net/2402392/matematika_himiya_fizika/sposoby_resheniya_kvadratnyh_uravneniy
https://multiurok.ru/index.php/files/15-sposobov-rieshieniia-kvadratnykh-uravnienii.html
https://math-prosto.ru/?page=pages/theorem_of_vieta/how_to_solve_equations_with_vieta.php
http://spacemath.xyz/teorema-vieta/
https://skysmart.ru/articles/mathematic/teorema-vieta-formula
https://moluch.ru/archive/111/27959/
https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!