Определители
Квадратной матрице
-го порядка ставиться в соответствие
число , называемое определителем
матрицы или детерминантом.
Вычисление определителей первого порядка.
Матрица размера
это просто число. Определителем такой матрицы является само это число.
Пример:
Вычисление определителей второго порядка.
Определитель второго порядка (матрицы размера 2 на 2) вычисляется по правилу:
Запомнить просто: произведение элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной.
Пример:
.
Вычисление определителей третьего порядка.
Определитель третьего порядка вычисляется по правилу:
Запомнить порядок сомножителей, конечно же, очень трудно, если не знать визуального представления этого правила, которое называется правило треугольников:
Здесь схематично показано, какие сомножители соседствуют в слагаемых.
Пример:
Вычислить определитель:
….
Ответ: 108
Решить определитель 3 порядка можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу. Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм.
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения
Свойства определителей:
(Замечание. Все что будет сказано относительно строк, будет относиться и к столбцам.)
1° При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется:
Пример
Известно, что определитель матрицы
равен 3. Тогда определитель матрицы
, которая равна
, также равен 3.
2° Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя.
Пример
3°
То есть, если квадратная матрица
-го порядка умножается на некоторое ненулевое число
, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы
на число
в степени, равной порядку матриц.
Пример
Задание. Пусть определитель матрицы
третьего порядка равен 3, вычислить определитель матрицы
.
Решение. По свойству
Ответ.
4° Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем.
5° Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак.
Пример
6° Определитель с двумя равными строками равен нулю.
Пример
7° Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.
Пример
8° Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.
Пример
9° Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число.
Пример
Пусть задан определитель третьего порядка
. Прибавим ко второй строке определителя третью его строку, при этом значение определителя не измениться:
10° Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.
Пример
11° Определитель произведения матриц равен произведению определителей:
Контрольные вопросы:
Что называют определителем матрицы?
Как вычислить определитель первого порядка?
Как вычислить определитель второго порядка?
Как вычислить определитель третьего порядка?
Какими свойствами обладают определители?