Логико-дидактический анализ темы «Уравнения, неравенства, системы уравнений» по школьным учебникам

Уровень обязательной подготовки

• знать определение уравнения, корня уравнения, определение уравнения с одной переменной; знать, что означает решить уравнение;

• иметь представление о равносильных уравнениях;

• знать свойства уравнений;

• уметь проверять, является ли данное число корнем уравнения;

• уметь решать несложные уравнения с одной переменной;

• уметь использовать условие равности произведения нулю во время решения уравнений.

Высокий уровень

• знать строгое определение уравнения с одной переменной;

• знать определение уравнения первой степени с одной переменной;

• решать линейные уравнения с дробными коэффициентами;

• уметь доказывать равносильность уравнений;

• уметь решать уравнения с модулем;

• уметь решать уравнения с параметром;

• уметь определять и доказывать количество корней линейного уравнения с одной переменной.

Логико-дидактический анализ темы «Уравнения, неравенства, системы уравнений» по учебнику:

«Алгебра» 7-11 класс

(А.Г. Мордкович)

«Алгебра» .7-9 класс

(Ю.Н. Макарычев)

и

«Алгебра» 10-11 класс

(Ш.А. Алимов)

К теме «Уравнения, неравенства, системы уравнений»

относится следующий материал:

7 класс:

• Глава 1. Математический язык. Математическая модель.

§4. Линейное уравнение с одной переменной.

• Глава 2. Линейная функция.

§7. Линейное уравнение с двумя переменными и его график.

• Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

§ 11. Основные понятия.

§ 12. Метод подстановки.

§ 13. Метод алгебраического сложения.

§ 14. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций.

• Глава 8. Функция .

§ 38. Графическое решение уравнений.

8 класс:

• Глава 3. Квадратичная функция. Функция .

§ 23. Графическое решение квадратных уравнений.

• Глава 4. Квадратные уравнения.

§ 24. Основные понятия.

§25. Формулы корней квадратного уравнения.

§ 26. Рациональные уравнения.

§ 27. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций.

§ 28. Ещё одна формула корней квадратного уравнения.

§ 29. Теорема Виета.

§ 30. Иррациональные уравнения.

• Глава 5. Неравенства.

§ 31. Свойства числовых неравенств.

§ 33. Решение линейных неравенств.

§ 34. Решение квадратных неравенств.

9 класс:

• Глава 1. Неравенства и системы неравенств.

§ 1. Линейные и квадратные неравенства.

§ 2. Рациональные неравенства.

§ 4. Система рациональных неравенств.

• Глава 2. Системы уравнений.

§ 5. Основные понятия.

§ 6. Методы решения систем уравнений.

§ 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций.

10-11 класс:

• Глава 3. Тригонометрические уравнения.

§ 15. Арккосинус. Решение уравнения .

§ 16. Арксинус. Решение уравнения .

§ 17. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений .

§ 18. Тригонометрические уравнения.

• Глава 7. Показательная и логарифмическая функции.

§ 40. Показательные и логарифмические уравнения.

§ 44. Логарифмические уравнения.

§ 45. Логарифмические неравенства.

• Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств.

§ 55. Равносильность уравнений.

§56. Общие методы решения уравнений.

§ 57. Решение неравенств с одной переменной.

§ 58. Уравнения и неравенства с двумя переменными.

§ 59. Системы уравнений.

§ 60. Уравнения и неравенства с параметром.

7 класс:

• Глава I. Выражения, тождества, уравнения.

§ 3. Уравнения с одной переменной.

6. Уравнение и его корень.

7. Линейное уравнение с одной переменной.

8. Решение задач с помощью уравнений.

• Глава VI. Системы линейных уравнений.

§ 15. Линейные уравнения с двумя переменными и их системы.

40. Линейное уравнение с двумя переменными.

41. График линейного уравнения с двумя переменными.

42. Системы линейных уравнений с двумя переменными.

§ 16. Решение систем линейных уравнений.

43. Способ подстановки.

44. Способ сложения.

45. Решение задач с помощью систем уравнений.

8 класс:

• Глава III. Квадратные уравнения.

§ 8. Квадратное уравнение и его корни.

21. Неполное квадратное уравнение.

22. Формула корней квадратного уравнения.

23. Решение задач с помощью квадратных уравнений.

24. Теорема Виета.

§ 9. Дробные рациональные уравнения.

25. Решение дробных рациональных уравнений.

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений.

27. Уравнения с параметром.

• Глава IV. Неравенства.

§ 10. Числовые неравенства и их свойства.

28. Числовые неравенства.

29. Свойства числовых неравенств.

30. Сложение и умножение числовых неравенств.

§ 11. Неравенства с одной переменной и их системы.

34. Решение неравенств с одной переменной.

35. Решение систем неравенств с одной переменной.

36. Доказательство неравенств.

9 класс:

• Глава II. Уравнения и неравенства с одной переменной.

§ 5. Уравнения с одной переменной.

12. Целое уравнение и его корни.

13. Дробные рациональные уравнения.

§ 6. Неравенства с одной переменной.

14. Решение неравенства второй степени с одной переменной.

15. Решение неравенств методом интервалов.

16. Некоторые приемы решения целых уравнений.

• Глава III. Уравнения и неравенства с двумя переменными.

§ 7. Уравнения с двумя переменными и их системы.

17. Уравнение с двумя переменными и его график.

18. Графический способ решения систем уравнений.

19. Решение систем уравнений второй степени.

20. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.

§ 8. Неравенства с двумя переменными и их системы.

21. Неравенства с двумя переменными.

22. Системы неравенств с двумя переменными.

23. Некоторые приемы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными.

10-11 класс:

• Глава II. Степенная функция.

§ 8. Равносильные уравнения и неравенства.

§ 9. Иррациональные уравнения.

§ 10. Иррациональные неравенства.

• Глава III. Показательная функция.

§ 12. Показательные уравнения.

§ 13. Показательные неравенства.

§ 14. Системы показательных уравнений и неравенств.

• Глава IV. Логарифмическая функция.

§ 19. Логарифмические уравнения.

§ 20 Логарифмические неравенства.

• Глава VI. Тригонометрические уравнения.

§ 33. Уравнение .

§ 34. Уравнение .

§ 35. Уравнение .

§ 36. Решение тригонометрических уравнений.

§ 37. Примеры решения простейших тригонометрических неравенств.

Определения, рассматриваемые в теме

«Уравнения, неравенства, системы уравнений»

7 класс

1. Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида ax+b=0, где a и b – любые числа (коэффициенты).

2. Решить линейное уравнение – это значит найти все те значения переменной, при каждом из которых уравнение превращается в верное числовое равенство.

3. Линейное уравнение с двумя переменными – это уравнение вида

ax + by+c = 0

1. Решение уравнения ax + by+c = 0 – это всякая пара чисел (x,y), которая удовлетворяет этому уравнению, т.е. обращает его с переменными в верное числовое равенство.

2. Система уравнений – это запись, в которой даны два линейных уравнения с двумя переменными x и y: a₁x +b₁y +c₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂ = 0- и поставлена задача найти такие пары значений (x,y), которые одновременно удовлетворяют и тому и другому уравнению.

3. Решение системы – это такая пара значений (x,y), которая одновременно является решение и первого, и второго уравнений системы.

8 класс

1. Рациональное уравнение – это уравнение вида p(x)= 0, где p(x) – это рациональное выражение.

2. Квадратное уравнение – это уравнение вида ax²+bx+c=0.

3. Приведенное уравнение – это квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен 1.

Неприведенное, если старший коэффициент отличен от 0.

1. Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля.

2. Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b, c равен нулю.

3. Корень квадратного уравнения ax²+bx+c=0 – это всякое значение переменной x, при котором квадратный трёхчлен ax²+bx+c обращается в ноль.

4. Биквадратное уравнение – это уравнение вида ax⁴ + bx² + c = 0.

5. Равносильные уравнения – это уравнения, которые имеют одинаковые корни (или, в частности, если оба уравнения не имеют корней).

6. Квадратное неравенство – это неравенство вида где .

9 класс

1. Рациональное неравенство с одной переменной - это неравенство вида h(x) q(x), где h(x) и q(x) - рациональные выражения.

2. Рациональное уравнение с одной переменной - это уравнение вида h(x) = q(x), где h(x) и q(x) - рациональные выражения.

10-11 класс

1. Если , то (арккосинус a) – это такое число из отрезка , косинус которого равен a.

2. Если , то (арксинус a) – это такое число из отрезка , синус которого равен a.

3. (арктангенс ) – это такое число из интервала , тангенс которого равен .

4. (арккотангенс ) – это такое число из интервала , котангенс которого равен .

5. Тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором переменные содержатся под знаком тригонометрических функций.

6. Однородное тригонометрическое уравнение первой степени – это уравнение вида .

7. Однородное тригонометрическое уравнение второй степени – это уравнение вида .

8. Показательное уравнение – это уравнение вида .

9. Показательное неравенство – это неравенство вида .

10. Логарифмическое уравнение – это уравнение вида , где - положительное число, отличное от 1.

11. Логарифмическое неравенство – это неравенство вида .

12. Равносильные уравнения – это два уравнения с одной переменной f(x) = g(x) и p(x)=h(x), множество корней которых совпадают.

7 класс

1. Корень уравнения – это такое значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

2. Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

3. Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида ax=b, где a и b – любые числа (коэффициенты).

4. Линейное уравнение с двумя переменными – это уравнение вида

ax + by=c, где x и y – переменные, a,b и c- некоторые числа.

1. Решение уравнения с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

2. Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

3. Решение неравенства с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая его в верное числовое равенство.

8 класс

1. Квадратное уравнение – это уравнение вида ax²+bx+c=0, где x - переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a .

2. Решение неравенства с одной переменной – это значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

3. Решение системы неравенств с одной переменной – это значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

9 класс

1. Квадратный трехчлен– это многочлен вида ax²+bx+c, где x - переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a .

2. Целое уравнение с одной переменной – это уравнение, левая и правая части которого – целые выражения.

3. Дробно рациональное уравнение – это уравнение, обе части которого является рациональными выражениями, причем хотя бы одно из них – дробным выражением.

4. Решение уравнения с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

5. График уравнения с двумя переменными – это множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.

6. Решение неравенства с двумя переменными – это пара значений этих переменных, обращающая данное неравенство в верное числовое равенство.

10-11 класс

1. Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одно и то же множество корней.

2. Равносильные неравенства – это неравенства, имеющие одно и то же множество решений.

Теоремы, рассматриваемые в теме

«Уравнения, неравенства, системы уравнений»

7 класс

Теорема 1. Если хотя бы один из коэффициентов a, b линейного уравнения ax + by+c = 0 отличен от нуля, то графиком уравнения служит прямая линия.

8 класс

Теорема 1. Если D ax²+bx+c=0 не имеет корней.

Теорема 2. Если D = 0, то квадратное уравнение ax²+bx+c=0 имеет один корень, который находится по формуле .

Теорема 3. Если D 0, то квадратное уравнение ax²+bx+c=0 имеет два корня, которые находятся по формулам:

Теорема 4 (теорема Виета). Пусть x₁, x₂ – корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0. Тогда сумма корней равна , а произведение корней равно :

Теорема 5. Если x₁, x₂ – корни квадратного трехчлена ax²+bx+c. То справедливо тождество

Теорема 6. Если квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители, то он имеет корни.

Теорема 7. Если квадратный трёхчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на линейные множители.

Теорема 8. Если числа x₁, x₂ таковы, что , то эти числа – корни уравнения .

Теорема 9. Если квадратный трёхчлен не имеет корней (т.е. его дискриминант D –отрицательное число) и если при этом a 0, то при всех значениях x выполняется неравенство .

Теорема 10. Если квадратный трёхчлен не имеет корней (т.е. его дискриминант D –отрицательное число) и если при этом a 0, то при всех значениях x выполняется неравенство .

7 класс

Теорема 1. Если в уравнении перенести слагаемые из одной части в другую, изменив его знак, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

8 класс

Теорема 1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Теорема 2. Если числа m и n таковы, что их сумма равна -p, а произведение равно g, то эти числа корнями уравнения .

9 класс

Теорема 1. Если и – корни квадратного трехчлена ax²+bx+c, то ax²+bx+c = .