Маршрутный лист ученика. "Объем шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора"

Маршрутный лист ученика (-цы) 11 класса _____________________________

Дата урока ______

Тема урока: Объем шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора

Цели: получи представления о взаимном расположении двух прямых в пространстве (сравни с расположением прямых на плоскости); сформулируй и докажи признак скрещивающихся прямых; учись применять полученные знания при решении задач; развивай пространственное воображение, так как речь идет об абстрактных фигурах

I) Теоретическая часть

Ознакомься с теоретическим материалом по теме «Объем шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора» и ответь на поставленные вопросы (можешь сделать краткий конспект).

Определение:

Итак, шар – это совокупность всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного. Причём, данная точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара.

Определение:

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

Утверждение: если радиус шара равен  , а высота сегмента равна  , то объем   шарового сегмента можно вычислить по формуле:

Определение:

Шаровым слоем называется часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями.

Круги, получившиеся в сечении шара плоскостями, называются основаниями шарового слоя, а расстояние между плоскостями – высотой шарового слоя.

Нетрудно заметить, что объём шарового слоя можно вычислить, как разность объёмов двух шаровых сегментов.

Если высота шарового слоя равна  , а радиусы   и   – радиусы оснований шарового слоя соответственно, то объем шарового слоя можно вычислить по формуле:

Определение:

Шаровым сектором называется тело, которое получается при вращении кругового сектора с углом, меньшим 90^о, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов.

Если радиус шара равен  , а высота шарового сегмента равна  , то объем   шарового сектора можно найти по формуле:

1. Сформулируйте определение шарового сегмента. Запишите формулу нахождения объема шарового сегмента.

2. Сформулируй определение шарового слоя. Запишите формулу нахождения объема шарового слоя.

3. Сформулируй определение шарового сектора. Записать формулу объема шарового сектора.

Если смог ответить на все поставленные вопросы, то попробуй выполнить практическую часть урока.

II) Практическая часть

4. Разбери решение готовых задач, а затем попробуй решить эти задачи самостоятельно.

Задача 1: радиус шара равен   см. Вычислите объем шарового сегмента, если его высота равна   см.

Решение: запишем формулу для вычисления объёма шарового сегмента.

И подставим в неё радиус шара и высоту шарового сегмента.

Задача 2: по разные стороны от центра шара проведены два параллельных сечения с площадью   и   см². Расстояние между сечениями равно   см. Определите объём получившегося шарового слоя.

Решение: запишем формулу для вычисления объема шарового слоя.

Чтобы найти объём шарового слоя нам необходимо знать его высоту и радиусы двух его оснований.

По условию задачи нам дано расстояние между сечениями, как раз-таки это расстояние и есть высота данного шарового слоя, и она равна  .

Теперь найдём чему равны радиусы оснований шарового слоя. Напомню, что сечением шара плоскостью является круг. Площадь круга вычисляется по формуле  . Отсюда найдём радиусы оснований шарового слоя. Тогда имеем, радиус одного основания равен   (см), радиус второго основания равен   (см).

Подставим радиусы оснований и высоту шарового слоя в формулу его объёма. Посчитаем. Получаем, что объём данного шарового слоя равен  .

Задача 3: радиус шара равен   см. Найдите объем шарового сектора, если высота шарового сегмента равна   см.

Решение: запишем формулу для вычисления объёма шарового сектора.

Подставим в неё радиус шара и высоту шарового сегмента. Посчитаем. Получим, что объём данного шарового сектора равен  .

Надеюсь, что все получилось! Желаю успехов в исследовательской части урока! 

III) Исследовательская часть

5. Начни применять полученные знания в решении задач, если испытываешь затруднения, изучи теорию с начала.

Выбери свой уровень и выполни самостоятельную работу обучающего характера.

I уровень

1. Шар радиуса R пересечен плоскостью, отстоящей от его центра на расстоянии R/2. В каком отношении эта плоскость делит объем шара?

2. Чему равен объем шара, описанного около куба с ребром 2?

II уровень

1. Радиусы трех шаров 3, 4 и 5 см. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

2. Чему равен объем шара, вписанного в куб с ребром 1?

III уровень

1. Какая фигура имеет больший объем: шар радиуса 1 дм или правильная треугольная призма, каждое ребро которой равно 2 дм?

2. Диаметр шара, равный 30 см, служит осью цилиндра, у которого радиус основания равен 12 см. Найдите объем части шара, заключенный внутри цилиндра.

Оцени себя по следующим критериям:

Если свободно владеешь теоретической, практической частями и можешь решить задачи I уровня, то ты заработал отметку «3», если кроме выше перечисленных знаний умеешь еще решать задачи II уровня – это значит твоя отметка «4».

Для получения отметки «5» необходимо выполнить все предложенные задачи III уровня.

Спасибо за работу!

Домашнее задание: §4 (стр. 157-160) читать, ответить на контрольные вопросы, выполнить задачи:

1. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 см и 9 см. На какие части делится объем шара?

2. Найти отношение сегментов из предыдущей задачи.

3. Какую часть шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара?

Решать варианты на платформе решу ЕГЭ: профиль – 27912445; база - 8822780

.

Используемая литература:

1. Геометрия, 10-11 : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.] – М. : Просвещение, 2010.