Математика. Геометрические задачи подготовка к олимпиаде - 1. (треугольники, биссектрисы, углы)

Математика. Геометрические задачи подготовка к олимпиаде - 1. (треугольники, биссектрисы, углы)

Биссектриса – это линия, которая делит угол пополам.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.

Если в треугольнике биссектриса, проведённая из какого-то угла, совпадает с медианой или с высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Биссектриса совпадает с высотой и медианой только в равнобедренном треугольнике!

Биссектриса – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

• Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны.
• Если у какой-нибудь точки расстояния до сторон угла равны, то эта точка обязательно лежит на биссектрисе.
•  
• Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, и эта точка – центр вписанной в треугольник окружности. Точка пересечения биссектрис треугольника – центр вписанной в неё окружности.

Задача 1. К какой из вершин треугольника ближе расположена точка пересечения биссектрис?

          Решение. Пусть O – точка пересечения биссектрис треугольника ABC (рис. 1). Воспользуемся тем, что против большей стороны треугольника лежит больший угол. Если AB > BC, то A <C и, следовательно, OAD < OCD. Поэтому OC < OA, т.е. центр O вписанной окружности лежит ближе к вершине, расположенной против большей стороны.

Задача 2. Какая из высот треугольника наименьшая?

Решение. Пусть O – точка пересечения высот треугольника ABC (рис. 2). Если AC < AB, то C > B. Окружность с диаметром BC пройдет через точки F и G. Учитывая, что из двух хорд меньше та, на которую опирается меньший вписанный угол, получаем, что CG < BF, т.е. меньше та высота, которая опущена на большую сторону.

Задача 3. Пусть в остроугольном треугольнике ABC (рис. 3) точки A₁, B₁, C₁ обозначают основания высот. Докажите, что точка Hпересечения высот треугольника ABC является точкой пересечения биссектрис треугольника A₁B₁C₁.

Доказательство. На сторонах AC и BC треугольника ABC, как на диаметрах, построим окружности. Точки A₁, B₁, C₁ принадлежат этим окружностям. Поэтому B₁C₁C = B₁BC, как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности. B₁BC = CAA₁, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. CAA₁ = CC₁A₁, как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности. Следовательно, B₁C₁C = CC₁A₁, т.е. CC₁ является биссектрисой угла B₁C₁A₁. Аналогичным образом показывается, что AA₁ и BB₁ являются биссектрисами углов B₁A₁C₁ и A₁B₁C₁.

Самостоятельно исследуйте случаи прямоугольного и тупоугольного треугольника.

Рассмотренный треугольник, вершинами которого являются основания высот данного остроугольного треугольника, дает ответ на одну из классических экстремальных задач.

Задача 4 (задача Фаньяно). В данный остроугольный треугольник вписать треугольник наименьшего периметра.

Решение. Пусть ABC – данный остроугольный треугольник. На его сторонах требуется найти такие точки A₁, B₁, C₁, для которых периметр треугольника A₁B₁C₁ был бы наименьшим (рис. 4).

Зафиксируем сначала точку C₁ и будем искать точки A₁ и B₁, для которых периметр треугольника A₁B₁C₁ наименьший (при данном положении точки C₁).

Для этого рассмотрим точки D и E симметричные точке C₁ относительно прямых AC и BC. Тогда B₁C₁ = B₁D,  A₁C₁ = A₁E и, следовательно, периметр треугольника A₁B₁C₁ будет равен длине ломаной DB₁A₁E. Ясно, что длина этой ломаной наименьшая, если точки B₁, A₁ лежат на прямойDE.

Будем теперь менять положение точки C₁, и искать такое положение, при котором периметр соответствующего треугольника A₁B₁C₁наименьший.

Так как точка D симметрична C₁ относительно AC, то CD = CC₁ и ACD =ACC₁. Аналогично, CE = CC₁ и BCE = BCC₁. Следовательно, треугольник CDE равнобедренный. Его боковая сторона равна CC₁. Основание DE равно периметру p треугольника A₁B₁C₁. УголDCE равен удвоенному углу ACB треугольника ABC и, значит, не зависит от положения точки C₁.

В равнобедренном треугольнике с данным углом при вершине основание тем меньше, чем меньше боковая сторона. Поэтому наименьшее значение периметра p достигается в случае наименьшего значения CC₁. Это значение принимается в случае, если CC₁ является высотой треугольника ABC. Таким образом, искомой точкой C₁ на стороне AB является основание высоты, проведенной из вершины C.

Заметим, что мы могли бы фиксировать сначала не точку C₁, а точку A₁ или точку B₁ и получили бы, что A₁ и B₁ являются основаниями соответствующих высот треугольника ABC.

Из этого следует, что искомым треугольником, наименьшего периметра, вписанным в данный остроугольный треугольник ABC является треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника ABC.

Рассмотрим теперь замечательные точки и линии треугольника. К числу таких точек, изучаемых в школьном курсе геометрии, относятся:

а) точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности);

б) точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности);

в) точка пересечения высот (ортоцентр);

г) точка пересечения медиан (центроид).

Добавим к ним некоторые другие замечательные точки и линии.

Точка Торричелли. Путь дан треугольник ABC. Точкой Торричелли этого треугольника называется такая точка O, из которой стороны данного треугольника видны под углом 120 (рис. 5), т.е. углы AOB, AOC и BOC равны 120.

Докажем, что в случае, если все углы треугольника меньше 120, то точка Торричелли существует.

На стороне AB треугольника ABC построим равносторонний треугольник ABC' (рис. 6, а), и опишем около него окружность. Отрезок ABстягивает дугу этой окружности величиной 120. Следовательно, точки этой дуги, отличные от A и B, обладают тем свойством, что отрезок AB виден из них под углом 120. Аналогичным образом, на стороне AC треугольника ABC построим равносторонний треугольник ACB' (рис. 6, а), и опишем около него окружность. Точки соответствующей дуги, отличные A и C, обладают тем свойством, что отрезок AC виден из них под углом 120. В случае, когда углы треугольника меньше 120, эти дуги пересекаются в некоторой внутренней точке O. В этом случае AOB = 120, AOC = 120. Следовательно, и BOC = 120. Поэтому точка O является искомой.

В случае, когда один из углов треугольника, например ABC, равен 120, точкой пересечения дуг окружностей будет точка B (рис. 6, б). В этом случае точки Торричелли не существует, так как нельзя говорить об углах, под которыми видны из этой точки стороны AB и BC.

В случае, когда один из углов треугольника, например ABC, больше 120 (рис. 6, в), соответствующие дуги окружностей не пересекаются, и точки Торричелли также не существует.

С точкой Торричелли связана задача Ферма о нахождении точки, сумма расстояний от которой до трех данных точек наименьшая.