Хорды, касательные и секущие.
Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром окружности.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой (на рисунке это отрезок ). Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности.
Хорда окружности обладает следующими свойствами:
- Хорды, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра окружности, равны.
- Если хорды стягивают равные центральные углы, то они равны.
- Если диаметр перпендикулярен хорде, то он проходит через ее середину.
- Если вписанные углы опираются на одну хорду, то они равны.
- Две дуги равны, если они заключены между двумя равными хордами.
- Если пара вписанных углов опирается на одну и ту же хорду, а их вершины лежат по разные стороны хорды, то их сумма составляет 180°.
- Для любых двух хорд и , пересекающихся в точке О, выполняется равенство: .
Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной (на рисунке отрезок ).
Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей (отрезок ).
Свойства касательной и секущей
- Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
- Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
- Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть:
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
-
Просмотр содержимого документа
«Математика. Задачи. Хорды, касательные и секущие.»
CO=24 Ответ:24 А D 4 12 ? О 8 B C № 2. Решение: CO∙OD=AO∙OB CO=CD-OD=18-4=14 14 ∙4=8 ∙OB, =OB=7 Ответ:7 A D OB=? 4 8 О 18 B C " width="640"
№ 1.
Решение:
Отрезки пересекающихся хорд
связаны соотношением:
AO∙OB=CO∙OD
12 ∙8=CO ∙4, = CO=24
Ответ:24
А
D
4
12
?
О
8
B
C
№ 2.
Решение:
CO∙OD=AO∙OB
CO=CD-OD=18-4=14
14 ∙4=8 ∙OB, =OB=7
Ответ:7
A
D
OB=?
4
8
О
18
B
C
x=28 OD=28,OB=49-28=21 Ответ: 28 и 21 A AO:CO=4:3 OD+OB=49 D O B C " width="640"
№ 3.
Решение:
CO 1 ∙O 1 D=AO 1 ∙O 1 B
OD=CO(как радиус)
O 1 D=OD-OO 1 =11-7=4
O 1 C=O 1 O+OC=7+11=18
O 1 B=x, AO 1 =18-x
CO 1 ∙O 1 D=AO 1 ∙O 1 B
x ∙(18-x)=4 ∙18
x 2 -18 x+72=0, O 1 B=6,AO 1 =12
Ответ: 6 и 12
A
D
?
7
?
O 1
O
11
B
C
№ 4.
Решение:
AO∙OB=CO ∙OD AO:CO=OD:OB
4:3=x(49-x)
4(49-x)=3x
196=7x = x=28 OD=28,OB=49-28=21
Ответ: 28 и 21
A
AO:CO=4:3
OD+OB=49
D
O
B
C
∆ ABC – равнобедренный № 6. ∠ B= ∠ C=45º, ∠ B+ ∠ C=90º = ∠ A=180º-90º=90º sin45 º=AC/BC = √2/2=AC/4√2 = AC=4 =AB=4 Ответ: 4 и 4 A ? ? C 45º B " width="640"
A
№ 5.
Решение:
Отрезки касательных проведенных из
одной точки равны:
AB=AC
?
8
C
B
Решение:
AB=AC= ∆ ABC – равнобедренный
№ 6.
∠ B= ∠ C=45º, ∠ B+ ∠ C=90º =
∠ A=180º-90º=90º
sin45 º=AC/BC = √2/2=AC/4√2 =
AC=4 =AB=4 Ответ: 4 и 4
A
?
?
C
45º
B
CC 1 =BB 1 =AC 1 -AC=20-7=13 Ответ: 7 и 13 A ? 7 C B ? C 1 B 1 Решение: AC=AC 1 +C 1 K+KC AB 1 =AC 1 =7 K 1 B 1 =K 1 D 1 =3 KD 1 =KC 1 =KK 1 -K 1 D 1 =13-3=10 K 1 B=K 1 D 1 +D 1 D (1) KC 1 =KD+DD 1 (2) AB 1 +B 1 K 1 +K 1 B=AC 1 +C 1 K+KC(3) учитывая K 1 B 1 =K 1 D 1 , KD=KC, AB 1 =AC 1 и (2) в (3) AC 1 +K 1 D 1 +(K 1 D 1 +D 1 D)=AC 1 +(KD+DD 1 )+KD 2K 1 D 1 =2KD =KD=KC=3 =AC=7+10+3=20 Ответ: 20 A № 8. AB 1 =7 B 1 K 1 =3 KK 1 =13 AC - ? C 1 B 1 K 1 D 1 K D B C " width="640"
20
№ 7.
Решение:
AC 1 =AB 1 =20 AB=AC=7 =
CC 1 =BB 1 =AC 1 -AC=20-7=13
Ответ: 7 и 13
A
?
7
C
B
?
C 1
B 1
Решение:
AC=AC 1 +C 1 K+KC
AB 1 =AC 1 =7
K 1 B 1 =K 1 D 1 =3
KD 1 =KC 1 =KK 1 -K 1 D 1 =13-3=10
K 1 B=K 1 D 1 +D 1 D (1) KC 1 =KD+DD 1 (2)
AB 1 +B 1 K 1 +K 1 B=AC 1 +C 1 K+KC(3)
учитывая K 1 B 1 =K 1 D 1 , KD=KC, AB 1 =AC 1
AC 1 +K 1 D 1 +(K 1 D 1 +D 1 D)=AC 1 +(KD+DD 1 )+KD
2K 1 D 1 =2KD =KD=KC=3 =AC=7+10+3=20
Ответ: 20
A
№ 8.
AB 1 =7
B 1 K 1 =3
KK 1 =13
AC - ?
C 1
B 1
K 1
D 1
K
D
B
C
AB=10 Ответ: 10 A № 9. 5 ? C B 15 D Решение: ∆ BDC, ∠ С= 90º, по т.Пифагора: DC 2 =DB 2 -BC 2 =100-36=64 = D=8 Пусть AC=x, тогда AD=8+x AB 2 =AC ∙AD AB 2 =AC 2 +BC 2 AC ∙AD=AC 2 +BC 2 x(8+x)=x 2 +36 8x+x 2 =x 2 +36 =8x=36 =x=4,5 AC=4,5 AD=8+4,5=12,5 AB 2 =4,5 ∙12,5 =AB=7,5 Ответ: 7,5 A № 10. ? C 6 B D 10 " width="640"
Решение:
Квадрат отрезка касательной равен
произведению отрезков секущей,
проведенной из той же точки:
AB 2 =AC∙AD AB 2 =5∙20 =AB=10
Ответ: 10
A
№ 9.
5
?
C
B
15
D
Решение:
∆ BDC, ∠ С= 90º, по т.Пифагора:
DC 2 =DB 2 -BC 2 =100-36=64 = D=8
Пусть AC=x, тогда AD=8+x
AB 2 =AC ∙AD
AB 2 =AC 2 +BC 2
AC ∙AD=AC 2 +BC 2
x(8+x)=x 2 +36
8x+x 2 =x 2 +36 =8x=36 =x=4,5
AC=4,5 AD=8+4,5=12,5
AB 2 =4,5 ∙12,5 =AB=7,5
Ответ: 7,5
A
№ 10.
?
C
6
B
D
10
AB/AD=AC/AB, по условию AC/AB=3 =AD/AB=1/3 AD/AB=(AC-DC)/AB= AC/AB - DC/AB=3-DC/AB=1/3 = DC/AB=3-1/3=2 2 / 3 ; DC= 8 / 3 AB Ответ: в 2 2 / 3 раза AC=3AB Во сколько раз DC длиннее AB? C D A B Решение: C 2 D 1 =C 2 B 2 +B 2 B 1 +D 1 B 1 C 2 B 1 ∙C 2 D 1 =C 2 C 1 2 и D 1 B 2 ∙D 1 C 2 =D 1 D 2 2 Поскольку C 1 C 2 =D 1 D 2 , то C 2 B 1 =D 1 B 2 =C 2 B 2 =D 1 B 1 =3 C 2 C 1 2 =C 2 B 1 ∙C 2 D 1 B 2 B 1 =x, тогда C 2 B 1 =x+3, C 2 D 1 =x+6 √ 154=(x+3)(x+6) 154=x 2 +9x+18 x=8 = C 2 D 1 =3+8+3=14 Ответ: 14 № 12. C 2 D 1 - ? C 2 3 C 1 B 2 B 1 A D 1 D 2 " width="640"
№ 11.
Решение:
AB 2 =AC∙AD =
AB/AD=AC/AB, по условию
AC/AB=3 =AD/AB=1/3
AD/AB=(AC-DC)/AB=
AC/AB - DC/AB=3-DC/AB=1/3 =
DC/AB=3-1/3=2 2 / 3 ; DC= 8 / 3 AB
Ответ: в 2 2 / 3 раза
AC=3AB
Во сколько раз
DC длиннее AB?
C
D
A
B
Решение:
C 2 D 1 =C 2 B 2 +B 2 B 1 +D 1 B 1
C 2 B 1 ∙C 2 D 1 =C 2 C 1 2 и D 1 B 2 ∙D 1 C 2 =D 1 D 2 2
Поскольку C 1 C 2 =D 1 D 2 , то C 2 B 1 =D 1 B 2 =C 2 B 2 =D 1 B 1 =3
C 2 C 1 2 =C 2 B 1 ∙C 2 D 1
B 2 B 1 =x, тогда C 2 B 1 =x+3, C 2 D 1 =x+6
√ 154=(x+3)(x+6)
154=x 2 +9x+18
x=8 = C 2 D 1 =3+8+3=14
Ответ: 14
№ 12.
C 2 D 1 - ?
C 2
3
C 1
B 2
B 1
A
D 1
D 2
C F " width="640"
№ 13.
A
Решение:
Произведения отрезков секущих
проведенных из одной точки, равны:
AB∙AC=AD∙AE
4 ∙AC=6 ∙8
AC=12 Ответ: 12
AC - ?
4
6
B
D
2
E
C
Решение:
S ∆ ABF ½AB ∙AF ∙sinA 1
S ∆ ADC ½ AD ∙AC ∙sinA 4
AF ∙AD=AB ∙AC
AB AF AB AF 1 AB 1
AD AC AD AC 4 AD 2
Ответ: 1/2
№ 14.
A
S ∆ ABF 1
S ∆ ADC 4
AB
AD
D
B
?
∙
=
C
F