Материалы к уроку "Статистическое оценивание и прогноз"

Статистическое оценивание и прогноз.

С ростом числа экспериментов относительная частота наблюдаемого события стремится к вероятности. Значит, по известной вероятности можно прогнозировать частоту повторения интересующего нас события в будущем.

Задача 1. При проведении контроля качества среди 1000 случайно отобранных деталей оказалось 6 бракованных. Сколько бракованных деталей следует ожидать среди 30000?

Рассуждаем . По результатам контроля можно оценить вероятность того, что произведённая деталь бракованная. Приближённо она будет равна относительной частоте этого события:

Р = = 0,006

Такую частоту следует ожидать и в будущем. Поэтому среди 30000 деталей можно ожидать около 30000 *0,006 = 180 бракованных деталей.

Ответ: 180 деталей.

Задача 2. Население города Петрозаводска составляет около 300000 жителей. У скольких жителей этого города день рождения может приходиться на 29 февраля?

Рассуждаем. День 29 февраля бывает только в високосном году – один раз в четыре года. Значит, это один день из 365*3 + 366 = 1461 дней. Следовательно, для случайно выбранного человека его день рождения попадает на 29 февраля с вероятностью

Р = ≈ 0,00068.

Это значит, что среди 300000 жителей Петрозаводска следует ожидать около

300000 * 0,00068 ≈ 200

человек, которым приходиться праздновать свой день рождения раз в четыре года.

На прогнозирование частоты основан один интересный способ определения численности популяций, используемый в биологии.

Задача 3. Из озера выловили 106 рыб, которых пометили и отпустили обратно в озеро. Через неделю произвели повторный отлов – на этот раз поймали 98 рыб, среди которых оказались 6 помеченных. Этот результат позволяет вычислить, сколько приблизительно рыб живет в озере.

Рассуждаем. Обозначим неизвестную нам численность рыб в озере через N , Тогда, с одной стороны, вероятность поймать помеченную рыбу в озере будет равна .

С другой стороны, эта вероятность должна приближённо равняться относительной частоте появления помеченных рыб во втором улове :

≈ .

Отсюда N = ≈ 1700.

Сравнивая вероятности всех возможных исходов эксперимента, иногда полезно знать, какой из них наиболее вероятный. Именно на него следует «ставить», если вас просят предсказать, каким числом скорее всего закончится ваш эксперимент.

Задача 4. Выпадание какой суммы очков наиболее вероятно при двух бросаниях кубиков?

Рассуждаем. Наибольшее число, которое может выпасть,- 12, наименьшее – 2. Составим таблицу частот для чисел, выпадающих при первом и втором бросании:

Таким образом, наиболее вероятное значение суммы – 7 очков. Так как она может появиться в 6 случаях из 36, то ее вероятность равна .

Ответьте на вопросы по прочитанному тексту.

1.Чему равен процент бракованных деталей в задаче 1?

2.Используя задачу 2, определите, сколько примерно жителей должно быть в городе, чтобы можно было ожидать, что около 1000 его жителей родились 29 февраля.

3. Что можно было бы сказать о количестве рыб в озере из задачи 3, если бы при повторном отлове не попалась ни одна помеченная рыба?

4.Какие суммы очков при двух бросаниях кубика наиболее вероятны? Чему равна эта вероятность? Чему равна вероятность выпадания суммы, равной 9 очкам?

Решите самостоятельно

Базовый уровень

1.При проверке выбранных случайным образом 200 лампочек из партии в 2500 штук 2 лампочки оказались неисправными. Сколько неисправных лампочек можно ожидать в этой партии? ( Ответ: 25)

2. При изучении состояния знаний девятиклассников была обследована представительная выборка в 3000 учащихся. За контрольную работу оценку «5» получили 660 учащихся. Какова вероятность того, что наудачу выбранный девятиклассник выполнит работу на «5»?. ? ( Ответ: 22 %)

3. Частота попадания в мишень в тире в среднем составляет 06. За день около 100 пуль улетели « в молоко». Сколько всего выстрелов было сделано? ( Ответ: 250)

4. Вероятность поражения мишени биатлонистом Сергеевым в положении стоя равна 77 %, в положении лёжа- 92%. Сколько промахов следует ожидать в гонке, в которой биатлонист сделает по 10 выстрелов в каждом положении ?

Повышенный уровень

1.Абонент забыл последнюю цифру в номере телефона и набирает ее наугад. Сколько попыток в худшем случае ему придётся сделать? Что более вероятно - набрать нужный номер с первой попытки или со второй? ( Ответ: вероятности равны)

2. В коробке 100 шаров белого и чёрного цвета. Из неё 50 раз вынимали шар, возвращая его каждый раз обратно. При этом белый шар появился в 18 случаях. Сколько предположительно белый шаров в коробке? ( Ответ: 30)

3. В Москве около 12 млн жителей. У скольких жителей этого города день рождения может приходиться на 1 января? ( Ответ: примерно 32880)

4. Из озера выловили 64 рыбы, которых пометили и отпустили обратно в озеро. Через неделю произвели повторный отлов – на этот раз поймали 50 рыб, среди которых одна оказалась помеченная. Что можно было бы сказать о количестве рыб, живущих в озере, если бы среди выловленных рыб не было ни одной помеченной? (Ответ: 3200; более 3200)

5. Кубик бросают три раза. Каково наиболее вероятное значение суммы выпавших очков?

6. В результате обследования представительной выборки пятиклассников района оказалось, что 60% учащихся выполнили проверочную работу на «4» и «5». Сколько таких отметок можно ожидать при выполнении этой работы в районе, если всего в пятых классах района обучается 120 школьников?

7. Из партии телевизоров в 800 штук отдел контроля подверг проверке 100 штук. Оказалось, что 3 телевизора имеют дефекты. Сколько телевизоров с дефектами можно ожидать в этой партии?