Математика и архитектура

Математика

и

архитектура

Введение

• Слово «архитектура» просисходит от греческого слова «architecton», что значит «мастер-строитель».
• Архитектура – это высокое строительное искусство, вид творчества, формирующего действительность по законам красоты
• Архитектура всегда выражает характер эпохи. Во все времена у всех народов существовали особые представления о красоте и художественной гармонии архитектурного стиля

Мы слышим сочетание «Математика и архитектура» и задаемся вопросом: «А существует ли вообще математика в архитектуре?» Конечно.

Достаточно взглянуть на здания, и мы тут же видим знакомые геометрические фигуры: параллелепипед, полукруглые и прямоугольные окна, пирамиды, шар. Это лишь малая часть геометрических тел и фигур, которые радуют наш глаз при взгляде на прекрасные архитектурные памятники старины и красивые здания современности.

Золотое сечение

Золотое сечение – гармоническая пропорция в архитектуре.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

a : b = b : c или с : b = b : а.

Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

  Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции

История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

Золотое сечение дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

Одним из красивейших произведений архитектуры является Парфенон (V в. до н.э.), он имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 колонн по длинным сторонам, выступы сделаны целиком из квадратов мрамора, отношение высоты здания к его длине равно 0,618.

"Все на свете боится времени ,а время боится пирамид"

Обратимся к очень далекому прошлому, к истокам архитектуры. Уже пять тысяч лет назад люди строили в «вечном» - в камне, и в мыслях перед ними стояла вечность.

Среди прекрасных семи чудес света постоянно первое место занимали египетские пирамиды. Существует даже арабская пословица: «Все на свете боится времени, а время боится пирамид».

Пирамиды называют «окаменевшей геометрией», хотя в геометрию термин «пирамида» пришел от наименования гробниц фараонов. Нет сомнения, их строители превосходно знали геометрию, астрономию, многие законы физики.

Закономерности прямоугольного треугольника

Египтяне прошли долгий, трудный путь познания. Много тысяч лет назад начертили на плоскости – на земле – прямой угол и поняли, что природа такого не создала; затем поняли, что этот прямой угол обладает некоторыми незаметными свойствами.

Они узнали, что прямоугольный треугольник, у которого катеты соответственно равняются 3-м и 4-м, имеет гипотенузу, равную 5-ти, и что такой треугольник несет в себе таинственные для них закономерности.

Сюда, в Египет, приезжал учиться Пифагор, а именно от этих закономерностей до теоремы Пифагора один только шаг.

Если же сложить два равнобедренных прямоугольных треугольника гипотенузами, получается квадрат, то есть основание. Эти безукоризненно правильные геометрические тела, точно ориентированные по сторонам света, возведенные без каких то ни было сложных механизмов, были порой колоссальных размеров.

Приведем примеры геометрических расчетов пирамиды Хеопса.

Пирамида Хеопса,ее высота и площадь

Определение высоты пирамидаы Хеопса

Геометрические формы в разных архитектурных стилях.

Ни один из видов искусств так тесно не связан с геометрией как архитектура.

Архитектурные произведения живут в пространстве, являются его частью, вписываясь в определенные геометрические формы. Кроме того, они состоят из отдельных деталей, каждая из которых также строится на базе определенного геометрического тела. Часто геометрические формы являются комбинациями различных геометрических тел. Здание клуба имени И.В.Русакова в Москве построено в 1929 г. по проекту архитектора К.Мельникова. Базовая часть здания представляет собой прямую невыпуклую призму. Призма является невыпуклой, благодаря выступам, которые заполнены вертикальными рядами окон. При этом гигантские нависающие объемы также являются призмами, только выпуклыми.

В Спасской башне Московского кремля в основании можно увидеть прямой параллелепипед, переходящий в средней части в фигуру, приближающуюся к цилиндру, завершается же она пирамидой. При более детальном рассмотрении и изучении деталей можно увидеть: круги – циферблаты курантов; шар – основание для крепления рубиновой звезды; полукруги – арки одного из рядов бойниц на фасаде башни и т.д.

Геометрическая форма сооружения настолько важна, что бывают случаи, когда в имени или названии здания закрепляются названия геометрических фигур. Так, здание военного ведомства США носит название Пентагон, что означает пятиугольник. Связано это с тем, что, если посмотреть на это здание с большой высоты, то оно действительно будет иметь вид пятиугольника. На самом деле только контуры этого здания представляют пятиугольник. Само же оно имеет форму многогранника.

В архитектурном стиле “Хай Тек”, вся конструкция открыта для обозрения. Здесь мы можем видеть геометрию линий, которые идут параллельно или пересекаются, образуя ажурное пространство сооружения. Примером, своеобразной прародительницей этого стиля может служить Эйфелева башня.

Современный архитектурный стиль, благодаря возможностям современных материалов, использует причудливые формы, которые воспринимаются нами через их сложные, изогнутые (выпуклые и вогнутые) поверхности. Чтобы представить эти поверхности достаточно обратиться к зданиям, возведенным Антонио Гауди.

Применение геометрии в архитектуре Древней Руси

Метко называют архитектуру дочерью геометрии.

Древнерусское зодчество - это великолепное искусство, опыт, передаваемый по наследству, это наша история.

Лучшими созданиями человеческого гения, образцами архитектуры являются:

Церковь Вознесения в селе Коломенском под Москвой (постр. 1532)

Церковь Покрова на Нерли (1165-1167 гг.)

• Церковь Покрова на Нерли сравнивают с невестой, называют вершиной творчества владимирских мастеров, поэмой запечатленной в камне, самым лирическим и непревзойденным шедевром во всей русской архитектуре. По своей архитектурной конструкции храм удивительно прост, но отличается гармоничностью и изысканностью пропорций, выглядит невесомой, будто парящей в воздухе. слегка наклоненные внутрь стены, что практически незаметно, а так же бросающиеся в глаза вертикальные линии – высокие узкие окна, которые зрительно увеличивают высоту здания.

• По своей архитектурной конструкции храм удивительно прост, но отличается гармоничностью и изысканностью пропорций, выглядит невесомой, будто парящей в воздухе. слегка наклоненные внутрь стены, что практически незаметно, а так же бросающиеся в глаза вертикальные линии – высокие узкие окна, которые зрительно увеличивают высоту здания.

Успенский собор (Великая церковь) Киево-Печерской Лавры 1111 г.

«Золотое сечение» в архитектуре Древней Руси.

Математики и историки, архитекторы и философы с разных позиций то возносили, то низвергали закономерности согласования архитектурной формы. Особое внимание привлекали модульная система и «золотое сечение». Примером может служить Успенская Елецкая церковь в Чернигове. Расчет размеров этой церкви позволил выявить, что композиционный замысел целиком связан с золотым сечением. На рисунке приведен композиционный замысел Елецкой церкви.

Успенский собор Елецкого монастыря в Чернигове (XI, XII века)

Длина храма 26,57м относится к ширине 16,24м в отношении золотого сечения(26,57/16,24=1,636≈d). Ширина храма относится к длине ядра 10,06м как16,24/10,06=1,614≈d. В пропорции золотого сечения находятся и многие другие конструктивные размеры элементов и частей церкви:

Этапы работы зодчего

Вывод:

Математика предлагает архитектору ряд, если так можно назвать, общих правил организации частей в целое, которые помогают:

Расположить эти части в пространстве, так, что в них проявлялся порядок;

Установить определенное соотношение между размерами частей и задать для изменения размеров (уменьшения или увеличения) определенную единую закономерность, что обеспечивает восприятие целостности и представление о порядке;

Выделить определенное место в пространстве, где будет размещаться сооружение, описать его определенной математической формой, которая также позволит выделить его из других сооружений и внести  в их  состав, создав новую композицию, новый архитектурный ансамбль.