Тема урока: Нахождение кратчайших расстояний на поверхности куба
Предмет: факультатив по геометрии
Класс: 6
Тип урока: комбинированный: обобщающий + применения знаний на практике.
Цели:
Обучающая:
Применение знаний по теме «Куб», «Осевая симметрия»;
Формирование умения решения задач на нахождение наибольших и наименьших расстояний на кубе;
Применение информационных умений: процесс сбора, применения и преобразования информации при восприятии новой информации, соотнесение разных представлений информации (графическом и в виде модели).
Развивающая:
Развитие интереса к окружающему миру и конкретно к данной теме посредством показа прикладных возможностей предмета математики на практике и в смежных областях;
Развитие логических умений на упражнениях сравнения, сопоставления, обобщения;
Развитие пространственного воображения;
Развитие вариативности, гибкости, творческого мышления при решении задач с многовариантными решениями и решении задач с неполными данными.
Воспитывающая:
Формирование и укрепление мотивации на получение знаний;
Воспитание качеств регуляции и саморегуляции, оценки и самооценки при работе в сотрудничестве;
Формирование представления об окружающем мире как целостной системы и себя как участника системы;
Формирования осознания личностного роста при проведении рефлексии.
Оборудование к уроку:
средства мультимедиа,
модели кубиков (из детских наборов кубиков) по одному на парту,
две большие демонстрационные модели куба (каркасная и «непустая») и ее изображение-аналог на экране,
раздаточный материал, бумага.
Ход урока:
Организационный момент.
Сообщение цели урока, мотивационный этап:
Пожалуй, трудно найти человека, которому бы не был знаком куб. Ведь кубики – любимая игра малышей. Кажется, что мы о кубе знаем всё. Но так ли это?
Сегодня мы попытаемся научиться находить расстояния на поверхности куба и даже внутри куба, не разрезая и не деформируя при этом саму модель (дети должны удивиться).
Может быть, вы узнаете и отметите для себя ещё что-то новое, интересное, или расскажете всем, что вам удалось дополнительно узнать о кубе во время ваших внешкольных занятий.
Актуализация опорных знаний
Проверка домашнего задания: Вам было задано сделать ра звертки куба. Покажите ваши развертки. Я вижу, что ваши развертки отличаютсядруг от друга. А вы проверяли, действительно ли из вашей развертки можно сделать куб?Тогда попрошу вас на листочках выполните задание на развертку(карточка)
2 . Поставьте отметку (подчеркните слово) на тех рисунках, где, по вашему мнению нарисована развертка куба.
а )
б в г д
а) да, нет; б) да, нет; в) да, нет; г) да, нет д) да, нет
3 . Постройте точку, симметричную относительно оси l.
B l
l
A D
H C
Задача на изображение куба
Н а этот куб мы смотрим справа сверху, так правая и верхняя грани находятся в поле нашей видимости, как будто они освещены.
Н а рисунке проведите сплошные линии (видимые рёбра) так, чтобы куб был «виден»: а) слева снизу; б) справа сверху; в) справа снизу; г) слева сверху.
с лева снизу справа сверху справа снизу слева снизу
Ответы
справа снизу
слева снизу справа сверху слева сверху
Самопроверка.
После сдачи работ ответы высвечиваются на экран.
Дополнительная задача (текст и рисунок на экране)
Вам дома предлагалось подумать над следующей задачей: Задача о диагонали куба: Отрезок, соединяющий две противоположные вершины куба (наиболее удалённые друг от друга). Называется ДИАГОНАЛЬЮ куба. Сколько диагоналей имеет куб? Нарисуйте!
Практическое задание:Как измерить диагональ напустого куба, пользуясь только линейкой и карандашом, если есть:
а) ещё два таких же кубика; б) ещё один такой кубик; в) всего один кубик?
О твет:
а ) б) в)
Новая тема: Расстояния на поверхности куба. Мотивация:
Вступительное слово: В жизни человеку приходится измерять множество разных величин: время, массу, скорость, громкость звука, силу света и многое другое. Не так уж редки случаи, когда мы с помощью единицы одного вида измеряем не свойственную ей величину.
Например, говоря о расстоянии между двумя городами, мы указываем время, в течение которого можно доехать от одного города до другого. И это гораздо удобнее, чем указывать расстояние. При помощи песочных часов время измеряется в единицах объёма – объёма пересыпавшегося песка. Попытайтесь привести примеры такого рода.
Во многих случаях, чтобы измерить какую-то величину, приходится проявлять большую изобретательность. Ведь нельзя так просто взять и измерить радиус земного шара, площадь океана и многое другое. А это необходимо знать человеку.
Предлагаю вам такие задачи. Предложите способ, спомощью которого можно измерить: толщину бумажного листа; объём булыжника; вместимость чайной ложки. Придумайте свои задачи на измерение каких-то величин, требующие изобретательности.
Сегодня речь пойдёт об измерении расстояний на поверхности куба, причём не просто расстояний, а наибольших или кратчайших. Почему нас интересуют кратчайшие расстояния? Ученики приводят примеры: когда мы опаздываем, нам нужно двигаться по кратчайшему пути.
На экране: Дозаправка самолета в воздухе по кратчайшему расстоянию.
Учитель дополняет примерами экономического характера: чтобы нерасточительно тратить природные ресурсы, мы должны выбирать наиболее выгодные, кратчайшие пути. Например, ошибка в расчетах дорого обойдётся для государства при отправлении космических экспедиций. Можно задать вопрос: почему при запуске летательных аппаратов на соседние планеты (Марс, Венеру, Сатурн и т.д.) ученые тщательно выбирают день отправки? Они ждут благоприятного расположения планет, когда они выстраиваются таким образом, что расстояние между ними наименьшее. И это выгоднее, чем отправлять «в никуда», бездумно тратя ресурсы и финансы.
Ещё пример: Вы слышали, что ученые американской космической организация НАСА получают снимки с Марса или с других планет в определенный момент, когда наступает благоприятное расположение. Как вы думаете, что при этом учитывается? Наша земля и спутники летят по разным орбитам, которые скрещиваются.
Кратчайшее расстояние
А теперь я вам задам задачу.
Решение задач
В спомогательная задача: Г рибник выходит из леса в заданной точке. Ему необходимо дойти до шоссе, которое представляет собой прямую линию, где у него собранные грибы заберет сын, приехавший на машине; а далее зайти в лес в другой точке, в которой ожидает его жена. Как ему это сделать, пройдя по самому короткому пути?
?
Решение. Покажем на рисунке решение этой задачи:
Пусть грибник выходит из леса в точке А, а должен зайти в лес в точке В. Для решения задачи симметрично прямой — шоссе отобразим точку В, получив точку В1. Далее, проведя прямую АВ1, получим точку D, которая и является искомой в задаче точкой. BD = B'D, ВС = В'С, тогда ясно, что для любой другой точки F AF + FB’ AD + DB'.
Расстояние AD + BD является наименьшим для выхода на шоссе из леса и захода в лес в заданной точке (D).
П одобная задача: Эта задача имеет много видоизменений: например, нужно найти точку, в которой ворона, сидящая на дереве, может подобрать рассыпанное на земле зерно и приземлиться на заборе, если по двору бегает кошка.
Задание: проведите рассуждение и сделайте чертёж, на котором обозначьте буквами положение вороны, зерна, и птицы, на котором изобразите оптимально короткий путь вороны.
В каком случае кошка всё равно настигнет ворону? Каких данных не хватает в задаче?
Переходим к решению задач на кубе
Задача о пауке и мухе 1:
В противоположных (наиболее удалённых друг от друга) вершинах куба сидят паук и муха. Каким кратчайшим путём паук может доползти до мухи, если он может ползти только по рёбрам и по диагоналям граней куба? (6 вариантов ответа)
Ответ
3 маршрута: диагональ грани – ребро; 3 маршрута:ребро-диагональ грани.
Так как у каждой вершины сходятся по 3 ребра и по 3 грани, то других вариантов нет.
Задача о пауке и мухе 2: Неправильный (неголодный) паук
Пусть ребро куба равно 1 дм. Проложите и вычислите наибольшее расстояние по рёбрам куба от паука к мухе, при прохождении которого нельзя по одному и тому же ребру бывать дважды. Можно ли обойти все рёбра куба? Почему?Сколько способов прохода паука вы нашли? На рисунке показан один из вариантов обхода.
Решение: 1дм х 7 = 7 (дм) – длина наибольшего пути паука.
Задача о пауке и мухе 3: В противоположных (наиболее удалённых друг от друга) вершинах куба сидят паук и муха. Каким кратчайшим путём паук может доползти до мухи?
Наводящий вопрос: Чем эта задача отличается от предыдущей?
Разбор:
Что является кратчайшим расстоянием между двумя точками?
Как бы вы решали задачу, если бы объекты находились на одной плоскости, в данном случае на одной грани?
Как сделать так, чтобы паук и муха оказались в одной грани?
Решение: Решение связано с построением развёртки куба.
Задача 1. Нарисуйте длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба ABCDA1B1C1D1 (рис. 2), соединяющего вершины A и C1.
Решение. Рассмотрим развертку, состоящую из двух соседних граней куба, изображенную на рисунке 3.
Кратчайшим путем из A в C1 является отрезок AC1. Соответствующий путь на поверхности куба изображен на рисунке 4.
Заметим, что путь из A в C1 является не единственным. Имеется шесть таких путей, проходящих через середины ребер BB1, A1B1, A1D1, DD1, CD и BC
(рис. 5).
Задача о пауке и мухе 4: на одном боковом ребре куба сидит муха. Паук сидит в середине верхней грани. Каким кратчайшим путём паук может доползти до мухи?
Наводящий вопрос: Чем эта задача отличается от предыдущей?
Решение: Решение связано с построением развёртки куба.Какие грани куба нужно посмотреть в развёртке?
Начертите путь паука к мухе по кратчайшей траектории.
Развитие задачи: Как изменится решение, если мы будем двигать паука и муху по разным положениям на гранях, рёбрах.
Обобщение
Можно ли сказать, что у этих задач похожий путь решения? Как бы вы назвали этот метод? (метод развёртки).
Метод развёртки применяется не только на кубе! Его активно применяют на призме, прямоугольном параллелепипед, пирамиде, комбинированных и на круглых телах.
Задача для ознакомления: на внутренней стенке цилиндрической банки в трех сантиметрах от верхнего края висит капля меда, а на наружной стенке, в диаметрально противоположной точке сидит муха (рис. 37). Нарисуйте кратчайший путь, по которому муха может доползти до меда.
Решение. Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник (рис. 38).
Конечно, кратчайшим путем между точками A и B является отрезок AB. Однако, чтобы муха могла попасть на внутреннюю сторону банки, ей нужно переползти через край в некоторой точке C. Рассмотрим точку B’, симметричную точке B относительно стороны прямоугольника. Тогда отрезки BC и B’C равны, следовательно, длина кратчайшего пути равна длине отрезка AB’. Соответствующий путь на поверхности банки изображен на рисунке 39.
На дом - Задача Шарыгина:
Комната представляет из себя прямоугольный параллелепипед, одна стена которого имеет вид квадрата со стороной 2 м, пол – прямоугольник 2 х 5. На квадратной стене на расстоянии 1/6 м от пола и на равных расстояниях от углов этой стены сидит паук. Аналогичным образом на противоположной стене, но у потолка сидит муха. Нарисовать длину кратчайшего пути, по которому паук может доползти до мухи.
Путь решения: для определения кратчайшего пути сделаем развёртку. Кратчайший путь пересекает 4 ребра. Проверьте, что для других маршрутов путь длиннее.
Рефлексия
А. Вишневская
Люблю я в кубики играть –
Они мои друзья!
И даже если надо спать –
Беру в постель их я!
Из них построю я гараж,
машина будет жить,
Потом для речки берега,
водичку чтобы лить!
Для башни - тоже хорошо,
Пусть будет высока!
И домик сделаю с окном –
Какая красота!
Нахождение кратчайших расстояний на кубе (компетенции в учебных программах)
выполнила Денисова М.Г.
Название компетенции | Объекты реальной действительности | Социальная значимость компетенции | Личностная значимость компетенции |
Учебно-познавательная |
Мотивация на познание | Кубики, здания, мебель, коробки и т.д. Ближайший путь к магазину. | Необходимость сокращать путь в повседневной жизни | Умение прокладывать кратчайший путь (расстояние) по поверхности куба |
Умение организовывать собственную познавательную деятельность |
а) умение целеполагать | Модели кубов: непустые, каркасные, развертки, изображения куба, возможности интерактивной доски | Необходимость выполнения расчетов для экономии ресурсов при движении по кратчайшему пути в повседневной жизни и в космосе | Умение самостоятельно рассчитывать кратчайшее расстояние для личных, бытовых целей |
б) умение планировать | Использование развёрток для планирования решения, а затем перенос траектории на поверхность | Необходимость составления плана по нахождению и вычислению кратчайшего расстояния на поверхностях сначала на развёртках, потом перенос на поверхность | Умение составлять план действий в подобных задачах на практике |
в) умение анализировать результат | Кубы - модели реальных объектов. Кратчайшие расстояния актуальны в мире. | Необходимость умения проводить подобные расчеты и оценку затрат в реальной жизни | Оценка полученных значений |
Обладание информационными умениями |
а) сбор информации | Куб – модель реальных объектов (зданий, игрушек, модель трехмерного мира) | Необходимость наличия информации о поверхностях, имеющих форму куба, о методах и приемах решения задач на наименьшее значение | Умение самостоятельно добывать информацию |
б) обработка информации | Куб – модель реальных объектов (зданий, игрушек, модель трехмерного мира) | Необходимость обработки информации о кратчайших расстояниях и установление связи между двумя разделами «Осевая симметрия» и «Расстояние между двумя точками» | Обогащение знаниями |
в) интерпретация информации | Куб – модель реальных объектов (зданий, игрушек, модель трехмерного мира) | Умение моделировать, составлять развертку, представлять задачу в графическом виде (трансформирование информации) | Умение применения полученной информации в практической деятельности |
Система знаний в предметной области | Расстояния на плоскости и в пространстве | Необходимость составления предписания по решению задач на нахождение кратчайших расстояний | Умение представлять куб в виде развертки и обратно |
Логические умения |
а) умения анализировать | Переформулирование задачи, переход с пространственной фигуры (куба) на плоскость развёртки | Умение разбивать задачу на подзадачи, оценивать задачу на полноту или недостаточность данных, выполнение требования минимальности результата | Обогащение знаниями |
б) умения сравнивать | Решение разными способами и выбор наименьшего результата | Развитие способности решать многовариантные задачи в жизни и выбирать оптимальное решение | Обогащение опытом |
в) умения обобщать | Различные (не только куб) тела, на которых работает способ развёртки | Синтез знаний по двум разделам «Симметрия» и Расстояния» Необходимость рассмотрения нескольких вариантов решения в одной задаче | Умение решать задачи целого класса |