Методические рекомендации Математика ФОС

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Московский авиационный институт

(национальный исследовательский университет)

Филиал «РКТ» МАИ в г. Химки Московской области

УТВЕРЖДАЮ

Зам директора по УР

___________ Ворникова И.А.

«__» _______ 2023

Методические рекомендации по выполнение внеаудиторной самостоятельной работы

ПД.01 Математика

Специальность 09.02.0.1 Компьютерные системы и комплексы

Квалификация (степень) выпускника: техник по компьютерным системам

Форма обучения Очная

Разработчик:		/Демьянова О.М./
	Подпись	ФИО

Одобрен: предметно-цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин специальности

09.02.0.1 Компьютерные системы и комплексы

Заключение ПЦК № ___ от «__» _______________ 2023 г.

Председатель ПЦК:		/Ершова Е.Г. /
	Подпись	ФИО

Химки

2023

ВВЕДЕНИЕ

Формирование умений самостоятельной работы студентов – важная задача всех преподавателей, в том числе и для преподавателя математики.

На каждом занятии преподавателю наряду с планированием учебного материала необходимо продумывать и вопрос о том, какие навыки самостоятельной работы получит на занятии студент.

Если обучающийся научится самостоятельно изучать новый материал, пользуясь учебником или какими-то специально подобранными заданиями, то будет успешно решена задача сознательного овладения знаниями. Знания, которые усвоил студент сам, значительно прочнее тех, которые он получил после объяснения преподавателя. И в дальнейшем студент сможет самостоятельно ликвидировать пробелы в знаниях, расширять знания, творчески применять их в решении практических задач.

Цель данных методических указаний – ознакомить с общими положениями о самостоятельной работе студентов по математике, с методикой организации самостоятельной работы студентов при изучении нового материала и в процессе закрепления на уроке при решении задач, при выполнении внеаудиторной работы.

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

О САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ

Самостоятельная работа по математике – это педагогически управляемый процесс самостоятельной деятельности студентов, обеспечивающий реализацию целей и задач по овладению необходимым объемом знаний, умений и навыков, опыта творческой работы и развитию профессиональных интеллектуально-волевых, нравственных качеств будущего специалиста.

Выделяют два вида самостоятельной работы:

• аудиторная, выполняется на занятиях под руководством преподавателя и по его заданию;

• внеаудиторная, выполняется студентом по заданию преподавателя, но без его непосредственного участия.

Основные виды аудиторной самостоятельной работы студентов при изучении дисциплины «Математика»:

• формулировка вопросов студентам, преподавателю;

• выполнение письменных заданий, тестирование;

• выступление с сообщением по новому материалу;

• конспектирование, работа с книгой;

• выполнение самостоятельных работ.

Основные виды внеаудиторной самостоятельной работы студентов при изучении дисциплины «Математика»:

• работа с учебником;

• конспектирование отдельного вопроса пройденной темы;

• работа со справочной литературой;

• подготовка рефератов и презентаций по темам;

• изготовление наглядных пособий и моделей;

• составление кроссвордов;

• использование Интернета.

Самостоятельная работа студентов проводится с целью:

• систематизации и закрепления полученных знаний и практических умений и навыков студентов;

• углубления и расширения теоретических и практических знаний;

• формирования умений использовать специальную, справочную литературу, Интернет;

• развития познавательных способностей и активности студентов, творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;

• формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации;

• развития исследовательских знаний.

Лимит времени для проведения самостоятельной работы студентов аудиторно отводится преподавателем непосредственно на уроке, для каждого вида работы определенный.

Время на внеаудиторную самостоятельную работу студентов берется в расчете 50% от всего учебного времени, отведенного на изучение дисциплины. Аудиторная самостоятельная работа студентов преобладает над внеаудиторной самостоятельной работой. Основной формой контроля самостоятельной работы студента являются практические, защита презентаций и рефератов на занятиях.

Самостоятельные работы являются важным средством проверки уровня знаний, умений и навыков.

Массовой формой контроля являются экзамены. Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы студента являются:

• уровень освоения студентом учебного материала;

• умение студента использовать теоретические знания при решении задач;

• обоснованность и четкость изложения ответа;

• оформление материала в соответствии с требованиями ФГОС.

Внеаудиторная самостоятельная работа обучающихся – планируемая учебная, учебно-исследовательская, проектная работа, выполняемая за рамками расписания учебных занятий по заданию и при методическом руководстве преподавателя, но без его непосредственного участия и является обязательной для каждого студента.

Целью самостоятельной работы студентов является:

• обеспечение профессиональной подготовки выпускника в соответствии с ФГОС СПО;

• формирование и развитие общих компетенций, определённых в ФГОС СПО;

• формирование и развитие профессиональных компетенций, соответствующих основным видам профессиональной деятельности.

Задачами, реализуемыми в ходе проведения внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся, в образовательной среде колледжа являются:

• систематизация, закрепление, углубление и расширение полученных теоретических знаний и практических умений студентов;

• развитие познавательных способностей и активности студентов: творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;

• формирование самостоятельности мышления: способности к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации;

• овладение практическими навыками применения информационно-коммуникационных технологий в профессиональной деятельности;

• развитие исследовательских умений.

Объем времени, отведенный на внеаудиторную самостоятельную работу, находит свое отражение:

• в рабочем учебном плане – в целом по циклам основной профессиональной образовательной программы, отдельно по каждому из учебных циклов, по каждой дисциплине, междисциплинарному курсу и профессиональному модулю;

• в рабочих программах учебных дисциплин и профессиональных модулей с ориентировочным распределением по разделам и темам.

Контроль результатов самостоятельной работы обучающихся может осуществляться в пределах времени, отведенного на обязательные учебные занятия и самостоятельную работу по дисциплине математика и может проходить в письменной, устной или смешанной форме с предоставлением изделия или продукта творческой деятельности.

Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы обучающегося являются:

• уровень освоения учебного материала;

• умение использовать теоретические знания и умения при выполнении практических задач;

• уровень сформированности общих и профессиональных компетенций.

Указания к выполнению ВСР

1. ВСР нужно выполнять в отдельной тетради в клетку, чернилами черного или синего цвета. Необходимо оставлять поля шириной 5 клеточек для замечаний преподавателя.

2. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

3. Оформление решения задачи следует завершать словом «Ответ».

4. После получения проверенной преподавателем работы студент должен в этой же тетради исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Вносить исправления в сам текст работы после ее проверки запрещается.

5. Оценивание индивидуальных образовательных достижений по результатам выполнения ВСР производится в соответствии с универсальной шкалой (таблица).

Процент результативности (правильных ответов)	Качественная оценка индивидуальных образовательных достижений
	балл (отметка)	вербальный аналог
90 – 100	5	отлично
80 – 89	4	хорошо
70 – 79	3	удовлетворительно
менее 70	2	неудовлетворительно

Методические рекомендации по составлению конспекта

Внимательно прочитайте текст. Уточните в справочной литературе непонятные слова. При записи не забудьте вынести справочные данные на поля конспекта.

Выделите главное, составьте план.

Кратко сформулируйте основные положения текста, отметьте аргументацию автора.

Законспектируйте материал, четко следуя пунктам плана. При конспектировании старайтесь выразить мысль своими словами. Записи следует вести четко, ясно.

Грамотно записывайте цитаты. Цитируя, учитывайте лаконичность, значимость мысли.

Самостоятельная работа студентов при решении задач

В процессе изучения математики наряду с некоторыми теоретическими сведениями студенты овладевают и закрепляют способы решения задач. Обычно с такими способами знакомит сам преподаватель, показывая решение задач по темам. Наиболее эффективным при этом является такой подход, при котором преподаватель раскрывает перед студентами технологию решения задачи, показывает, чем мотивировано применение некоторого метода решения, чем обусловлен выбор того или иного пути.

Работа над задачей тоже может быть полностью самостоятельной работой студентов. Она преследует несколько целей:

• продолжить формирование умений самостоятельно изучать текст, который в данном случае представляет собой задачу;

• обучить рассуждениям;

• обучить оформлению решения задач. К тому же студенты будут знать, что у них имеется образец рассуждений и оформления задачи, к которому они могут обратиться при решении другой задачи или при проверке правильности своего решения.

Непременным условием усвоения новых теоретических сведений и овладения новыми приемами решения задач является выполнение студентами тренировочных упражнений, в ходе которого приобретенные знания становятся полным достоянием студентов. Как известно, существуют две формы организации такой тренировочной работы – фронтальная работа и самостоятельная работа. Фронтальная работа на уроках математики – это традиционная, давно сложившаяся форма. Схематически ее можно описать так: один из студентов выполняет задание на доске, остальные выполняют это же задание в тетрадях. Самостоятельная работа студентов на уроке состоит в выполнении без помощи преподавателя и товарищей задания.

Большие возможности для подготовки студентов к творческому труду и самостоятельному пополнению знаний имеет самостоятельное выполнение заданий. В этом случае студент без какой-либо помощи должен наметить пути решения, правильно выполнить все построения, преобразования, вычисления и т. п. В таком случае мысль студента работает наиболее интенсивно. Он приобретает практический навык работы в ситуации, с которой ему неоднократно придется сталкиваться в последующей трудовой деятельности. Вместе с тем самостоятельная работа студентов на уроках математики имеет и свои недостатки. Усилия студента могут оказаться напрасными и не привести к результату, если он недостаточно подготовлен к решению поставленной задачи. Студент не слышит комментариев к решению, а рассуждения, которые он проводит мысленно, могут быть не всегда правильными и достаточно полными, причем возможности обнаружить это студент не имеет. Вообще при самостоятельном выполнении заданий мыслительные процессы не могут быть проконтролированы преподавателем. Поэтому даже верный ответ может оказаться случайным. Исправление ошибок, допущенных при самостоятельной работе, происходит в ходе ее проверки по окончании всей работы. Поэтому, выполняя упражнение самостоятельно, студент, не усвоивший материал, может повторять одну и ту же ошибку от примера к примеру и невольно закрепить неправильный алгоритм.

Самостоятельная работа над учебным материалом состоит из следующих элементов:

1. Изучение материала по учебнику.

2. Выполнение еженедельных домашних заданий.

3. Выполнение внеаудиторной самостоятельной работы (ВСР).

В методических рекомендациях Вам предлагается перечень внеаудиторных самостоятельных работ, которые вы должны выполнить в течение учебного года.

При выполнении (ВСР) обучающийся может обращаться к преподавателю для получения консультации.

Методические рекомендации по выполнению практических занятий

Для того чтобы практические занятия приносили максимальную пользу, необходимо помнить, что упражнение и решение ситуативных задач проводятся по вычитанному на лекциях материалу и связаны, как правило, с детальным разбором отдельных вопросов лекционного курса. Следует подчеркнуть, что только после усвоения лекционного материала с определенной точки зрения (а именно с той, с которой он излагается на лекциях) он будет закрепляться на практических занятиях как в результате обсуждения и анализа лекционного материала, так и с помощью решения ситуативных задач. При этих условиях студент не только хорошо усвоит материал, но и научится применять его на практике, а также получит дополнительный стимул (и это очень важно) для активной проработки лекции.

При самостоятельном решении поставленных задач нужно обосновывать каждый этап действий, исходя из теоретических положений курса. Если обучающийся видит несколько путей решения проблемы (задачи), то нужно сравнить их и выбрать самый рациональный. Полезно до начала решения поставленных задач составить краткий план решения проблемы (задачи). Решение проблемных задач или примеров следует излагать подробно, нужно сопровождать комментариями, схемами, чертежами и рисунками, инструкциями по выполнению.

Следует помнить, что решение каждой учебной задачи должно доводиться до окончательного логического ответа, которого требует условие, и по возможности с выводом. Полученный результат следует проверить способами, вытекающими из существа данной задачи.

Методические рекомендации по написанию контрольной работы

Контрольная работа – промежуточный метод проверки знаний обучающегося с целью определения конечного результата в обучении по данной теме или разделу. Она призвана систематизировать знания, позволяет повторить и закрепить материал. При выполнении студенты ограничены во времени, могут использовать любые учебные пособия, консультации преподавателя.

Распределение объема часов самостоятельной работы по темам

Наименование разделов и тем	Вид заданий для внеаудиторной самостоятельной работы	Объем часов
1	2	3
Раздел 1. Повторение курса математики основной школы	Самостоятельная работа №1. Решение заданий без точного учета погрешностей	2
Раздел 2. Прямые и плоскости в пространстве	Самостоятельная работа №2 Составление кроссворда на тему: «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве»	4
Раздел 3. Координаты и векторы	Самостоятельная работа №3 Решение задач по теме: «Векторы»	2
Раздел 4. Основы тригонометрии. Тригонометрические функции	Самостоятельная работа №4 Решение тригонометрических уравнений повышенной сложности	6
Раздел 5. Производная функции, её применение	Самостоятельная работа №5 Решение прикладных задач	4
Раздел 6. Многогранники и тела вращения	Самостоятельная работа №6. Модели многогранников Самостоятельная работа №7. Цилиндр и конус Самостоятельная работа №8. Шар и сфера Самостоятельная работа №9. Площадь поверхности частей шара Самостоятельная работа №10. Модели тел вращения Самостоятельная работа №11. Решение задач по теме: «Объемы тел»	8
Раздел 8. Степени и корни. Степенная функция	Самостоятельная работа №12. Иррациональные уравнения. Уравнения и неравенства с модулем	6
Раздел 10. Логарифмы. Логарифмическая функция	Самостоятельная работа №13. Решение заданий на преобразование логарифмических выражений	4

Раздел 1. Повторение курса математики основной школы

Самостоятельная работа № 1.

Решение заданий без точного учета погрешностей

Цель: Знать правила действия над приближенными числами без точного учета погрешностей.

Методические рекомендации

Правила для выполнения действий без точного учета погрешностей:

1. При сложении, вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их имеется в данном, с наименьшим числом десятичных знаков.

2. При умножении и делении приближенных чисел в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеется в данном с наименьшим числом значащих цифр.

3. При возведении в квадрат и куб в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеется в основании степени.

4. При извлечении квадратных и кубических корней в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеется в подкоренном числе.

5. При выполнении промежуточных действий в результате следует сохранять одну лишнюю (запасную) цифру, которую в окончательном результате отбрасывают.

Определение: Цифры, записанные справа от запятой, называются десятичными знаками числа.

Определение: Значащими цифрами числа называются все его верные цифры, кроме нулей, записанных левее первой отличной от нуля цифры.

Определение: Цифра в записи приближения называется верной, если абсолютная погрешность не превышает того разряда, в котором эта цифра записана. В противном случае цифра называется сомнительной.

Применив правила для выполнения действий без точного учета погрешностей, выполните действия.

1. Найти сумму и разность , если:

а) ; б) ; ;

в) ; ; г) ;

2. Найти произведение и частное , если

а) ; ; б) ; ;

в) ; ; г) ;

3. Найдите значение выражения для ; . Для вычисления рекомендуется пользоваться калькулятором.

4. Вычислите, ответ округлите до 0,001.

1 вариант	2 вариант
а)	а)
б)	б)
в)	в)
г)	г)

Раздел 2. Прямые и плоскости в пространстве

Самостоятельная работа № 23.

Прямые и плоскости в пространстве

Цель: Развитие интереса к предмету.

Форма самостоятельной деятельности: создание презентации по заявленной теме.

Работа должна соответствовать методическим рекомендациям по созданию презентации.

Самостоятельная работа № 2.

Составление кроссворда на тему: «Взаимное расположение

прямых и плоскостей в пространстве»

Цель: Развитие интереса к предмету, интуиции, логического мышления.

Кроссворд-это игра, состоящая в разгадывании слов по определениям.

Методические рекомендации

При выполнении задания воспользуйтесь методическими рекомендациями по составлению кроссворда.

Образец оформления и составления кроссвордов

По горизонтали:

1. Сторона прямоугольного треугольника.

4. Он есть у функции и последовательности.

8. Его штаны равны во все стороны.

10. Полный круг вращения.

13. Французский математик, специалист теории вероятностей.

14. Арифметическое действие.

16. Гектар — ... площади.

17. Часть матрицы.

18. Свойство углов.

19. Полупрямая.

22. Нейтральный элемент относительно умножения.

23. Группа повторяющихся цифр в бесконечной десятичной дроби.

24. Наибольший общий ...

По вертикали:

2. Бублик как математический объект.

3. Положение, нуждающееся в доказательстве.

4. Поверхность, имеющая 2 измерения.

5. Линейное алгебраическое уравнение.

6. Тригонометрическая функция.

7. Один из двух экстремумов.

9. Функция по своей сути.

11. Часть прямой.

12. Линия.

15. Геометрическая фигура, образованная двумя лучами.

17. Полный квадрат первого двузначного числа.

18. Для него необходимы натуральные числа.

20. В теории графов: маршрут, все ребра которого различны.

21. В теории графов: замкнутый маршрут, все ребра которого различны.

Ответы:

По горизонтали: 1-катет; 4-предел; 8-пифагор; 10-оборот; 13-пуассон; 14-умножение; 16-мера; 17-строка; 18-смежность; 19-луч; 22-единица; 23-период; 24-делитель;

По вертикали: 2-тор; 3-теорема; 4-плоскость; 5-лау; 8-синус; 7-максимум; 9-отображение; 11-отрезок; 12-кривая; 15-угол; 17-сто; 18-счёт; 20-цепь; 21-цикл. Раздел 3. Координаты вектора. Самостоятельная работа № 22. Решение задач по теме: «Векторы» Цель: Знать правила действия над векторами и уметь применять их при вычислениях. Методические рекомендации Теоретический материал Отложим вектор так, чтобы его начало совпало с началом координат. Тогда координаты его конца называются координатами вектора. Обозначим  векторы с координатами (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) соответственно. Их длины равны единице, а направления совпадают с направлениями соответствующих осей координат. Будем изображать эти векторы, отложенными от начала координат и называть их координатными векторами. Теорема. Вектор  имеет координаты (x, y, z) тогда и только тогда, когда он представим в виде  . Вариант 1 № п/п Название операции Формулы 1 Найти сумму векторов   2 Найти разность векторов   3 Найти произведение вектора на число  ,   4 Вычислить координаты середины отрезка Точка A . Точка B (-3;4;-1 .Точка С- середина отрезка АВ. С( ; . 5 Найти координаты вектора Точка A Точка B (-1;4;-7 .Находим координаты вектора  . Из координат конца вычислить координаты начала вектора  6 Найти длину вектора   7 Вычислить скалярное произведение векторов   8 Найти косинус угла между векторами  9 При каких значениях  и  векторы коллинеарны?  10 Проверьте перпендикулярность векторов   - условие перпендикулярности векторов Вариант 2 № п/п Название операции Формулы 1 Найти сумму векторов   2 Найти разность векторов   3 Найти произведение вектора на число  ,   4 Вычислить координаты середины отрезка Точка A Точка B (2;-3;1 Точка С- середина отрезка АВ. С( ,  . 5 Найти координаты вектора Точка A Точка B (1;-4;7 . Находим координаты вектора  . Из координат конца вычислить координаты начала вектора  6 Найти длину вектора   7 Вычислить скалярное произведение векторов   8 Найти косинус угла между векторами  9 При каких значениях  и  векторы коллинеарны?  10 Проверьте перпендикулярность векторов   - условие перпендикулярности векторов Раздел 4. Основы тригонометрии. Самостоятельная работа № 4. Решение тригонометрических уравнений повышенной сложности Цель: Знать методы решения тригонометрических уравнений, формулы для нахождения корней, уметь использовать полученные знания при решении уравнений повышенной сложности. Методические рекомендации I. Решение простейших тригонометрических уравнений. Уравнение Формулы решения Частные случаи при , при - решений нет ; , ; , , , при , при - решений нет ; , ; , ; , - любое число , - - любое число , - II. Тригонометрические уравнения. Уравнение Способ решения Формулы Уравнение содержит только синусы или косинусы (синусы и косинусы) вида и т.д. Уравнение сводится к квадратному (биквадратному) относительно синуса (косинуса) Однородное уравнение I степени вида Деление обеих частей на . Получаем: Однородное уравнение II степени вида Деление обеих частей на . Получаем: Уравнение вида Уравнение сводится к квадратному относительно тангенса заменой III. Основные тригонометрические тождества. ; ; и IV. Формулы сложения. V. Формулы двойного и половинного аргументов. ; ; VI. Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций. Значения тригонометрических функций град 00 300 450 600 900 радиан 0 sin 0 1 cos 1 0 tg 0 1 не существ ctg Не существ 1 0 Используя методические рекомендации, решите уравнения: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. . Подсказки. 1. Воспользуйтесь формулой двойного угла для и . 2. Обозначьте , решите уравнение, сведя его к квадратному с помощью формулы . 3. Сгруппируйте 1-ое и 3-е слагаемые, примените разложение на множители. 4. Воспользуйтесь формулой двойного угла для и , формулой понижения степени . 5. Раскройте скобки, примените основное тригонометрическое тождество. 6. Приведите дроби к общему знаменателю, а затем используйте основное тригонометрическое тождество , сведите уравнение к квадратному.

Раздел 5. Производная функции, её применение

Самостоятельная работа №5.

Решение прикладных задач

Цель: Уметь применять определение производной и ее механический смысл к решению прикладных задач.

Методические рекомендации

Физический смысл первой производной.

Физический смысл производной заключается в том, что мгновенная скорость движения в момент времени t есть производная пути по времени, т.е.

Физический смысл второй производной.

Ускорение прямолинейного движения в данный момент времени есть первая производная скорости по времени или вторая производная пути по времени.

Пример.

1. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением

.

В какой момент времени ускорение движения точки будет равно 24 м/с²?

Решение.

а) Найдем скорость движения точки по формуле:

б) Найти ускорение движения точки по формуле:

в) Из условия м/с², найти момент времени:

c

Ответ: 6 с.

• Правила дифференцирования и таблица производных основных функций.

Правила.

1.	4.
2.	5.
3.	6.

Производные основных элементарных функций.

1. ,	8.
2.	9.
3.	10.
4.	11.
5.	12.
6.	13.
7.

Используя методические рекомендации, выполните задания:

1 вариант	2 вариант
1. Тело движется вверх по закону с начальной скоростью , . Через сколько секунд скорость станет равной ?	1. Тело движется вверх по закону с начальной скоростью , . Через сколько секунд скорость станет равной .
2. Найдите силу, действующую на тело массой , движущееся по закону в момент времени .	2. Тело массой движется по прямой согласно уравнению . Найдите действующую на него силу в момент времени .
3. Определить кинетическую энергию точки, массой , движущейся по закону в момент времени .	3. Определить кинетическую энергию точки, массой , движущейся по закону в момент времени .
4.Точка движется по прямой по закону . Найти ускорение точки в момент времени .	4. Точка движется по прямой по закону . Найти ускорение точки в момент времени .

Раздел 6. Многогранники и тела вращения

Самостоятельная работа № 6.

Модели многогранников

Цель: Закрепить понятие многогранника при изготовлении моделей, используя развертки.

Форма самостоятельной деятельности: изготовление моделей многогранников.

Методические рекомендации

Одним из способов изготовления правильных многогранников является способ с использованием, так называемых, развёрток.

Если модель поверхности многогранника изготовлена из гибкого нерастяжимого материала (бумаги, тонкого картона и т. п.), то эту модель можно разрезать по нескольким рёбрам и развернуть так, что она превратится в модель некоторого многоугольника. Этот многоугольник называют развёрткой поверхности многогранника. Для получения модели многогранника удобно сначала изготовить развёртку его поверхности. При этом необходимыми инструментами являются клей и ножницы. Мо­дели многогранников можно сделать, поль­зуясь одной разверткой, на которой будут расположены все грани. Однако в этом случае все грани будут одного цвета.

Используя методические рекомендации, изготовьте модели изученных вами многогранников.

Самостоятельная работа № 7.

Цилиндр и конус

Цель: Развитие интереса к предмету.

Форма самостоятельной деятельности: создание презентации по заявленной теме.

Работа должна соответствовать методическим рекомендациям по созданию презентации.

Самостоятельная работа № 8.

Шар и сфера

Цель: Развитие интереса к предмету.

Форма самостоятельной деятельности: создание презентации по заявленной теме.

Работа должна соответствовать методическим рекомендациям по созданию презентации.

Самостоятельная работа № 9.

Площадь поверхности частей шара

Цель: Знать определение частей шара, формулы для нахождения их площадей. Уметь применять полученные формулы для решения задач.

Методические рекомендации

1. Изучив тему, ответьте на вопросы:

1⁰. Дайте определение шарового сегмента.

2⁰. Дайте определение шарового пояса.

3⁰. Дайте определение шарового сектора.

4⁰. Запишите формулы для нахождения площадей поверхностей частей шара.

2. Решите задачи:

1⁰. Найдите площадь поверхности шарового сегмента, отсекаемого от шара радиуса 2, плоскостью проходящей на расстоянии 1от центра шара.

2⁰. Шар радиуса 1 пересечен двумя параллельными плоскостями, которые делят перпендикулярный им диаметр шара в отношении 1:2:3. Определите площадь поверхности шара, заключенную между секущими плоскостями.

Литература: 1. А.Д. Александров «Геометрия»,11кл., 2014, М., «Просвещение», с. 94, с. 117.

2. Г.Н. Яковлев «Математика для техникумов. Геометрия», М., «Наука», 1987, гл. VII, §92.

Самостоятельная работа № 10.

Модели тел вращения

Цель: Закрепить понятие тел вращения при изготовлении моделей, используя развертки.

Форма самостоятельной деятельности: изготовление моделей тел вращения.

Методические рекомендации

Одним из способов изготовления тел вращения является способ с использованием, так называемых, развёрток.

Если модель поверхности тела вращения изготовлена из гибкого нерастяжимого материала (бумаги, тонкого картона и т. п.), то эту модель можно разрезать по образующей, отделить основание и развернуть так, чтобы она превратится в модель некоторого многоугольника плюс круг. Эту фигуру называют развёрткой поверхности тела вращения. Для получения модели тела вращения удобно сначала изготовить развёртку его поверхности. При этом необходимыми инструментами являются клей и ножницы. Мо­дели тел вращения можно сделать, поль­зуясь одной разверткой, на которой будут расположены все элементы.

Используя развертки тел вращения, изготовьте их модели.

Самостоятельная работа № 11.

Решение задач по теме: «Объемы тел»

Цель: Знать формулы для нахождения объемов многогранников и тел вращения.

Методические рекомендации

Основные формулы

№ п/п	Наименование многогранника	Изображение	Площадь боковой и полной поверхности
1	Куб		V=a3
2	Прямоугольный параллелепипед		 V=a*b*c V=Sосн*h
3	Призма		V=Sосн*h
4	Пирамида		V=(1/3)*Sосн*h

Теоретический материал

№ п/п	Наименование фигуры	Изображение	Формула площадей полной и боковой поверхности
1	Цилиндр
2	Конус
3	Сфера, шар

Используя методические рекомендации, решите задачи:

1 вариант

1. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см и высота 4 см.

1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите объем данной призмы.

1. Площадь осевого сечения цилиндра равна 4 м². Найдите объем цилиндра.

1. Высота конуса равна . образующая конуса составляет с плоскостью основания угол в . Найти объем конуса.

1. Площадь большого круга шара равна 3 см². Найдите объем шара.

2 вариант

1. Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6 см и высотой 1 см.

1. Найдите объем прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см и боковым ребром 10 см.

1. Осевое сечение цилиндра - квадрат. Площадь основания равна 1. Найдите объем цилиндра.

1. Радиус основания конуса равен 3 м, высота - 4 м. Найдите площадь объем конуса.

1. Сечение шара плоскостью, отстоящей от центра шара на расстоянии 8 см, имеет радиус 6 см. Найдите объем шара.

Раздел 8. Степени и корни. Степенная функция

Самостоятельная работа № 12.

Иррациональные уравнения. Уравнения и неравенства с модулем

Цель: Знать правила избавления от иррациональности, раскрытия модуля числа и уметь пользоваться ими при решении уравнений и неравенств.

Методические рекомендации

Формулы для повторения:

 ;

 ;

Решение квадратных уравнений:

 ,

Если  то 

Если  то 

Если  то корней нет

; ; ; ; ;

1. Изучив тему, письменно ответьте на вопросы:

1⁰. Введите понятие иррационального уравнения.

2⁰. Сформулируйте утверждение и замечание на с.350.

3⁰. Решение уравнений, содержащих квадратные радикалы.

4⁰. Записать решение примера 60, с. 351.

5⁰. Метод уединения радикалов (прим. 61).

6⁰. Сформулируйте утверждение на с. 352.

7⁰. Дайте определение и его иной формы.

8⁰. Таблица решения элементарных уравнений и неравенств с модулем.

9⁰. Записать решение примера 85, с. 74.

10⁰. Запишите вывод о решении неравенства с модулем.

11⁰. Запишите решение примера 90, с. 76.

2. Выполните письменно задания:

1 вариант	2 вариант
1. Решите уравнения: а) ; б) ; в) .	1. Решите уравнения: а) ; б) ; в) .
2. Решите уравнения: а) ; б) .	2. Решите уравнения: а) ; б) .
3. Решите неравенства: а) ; б) .	3. Решите неравенства: а) ; б) .

Литература: М.Я. Пратусевич «Алгебра и начала анализа», 10кл., М., «Просвещение» 2014, гл. I, §10; 11кл.-гл.XIII, §84.

Раздел 10. Логарифмы. Логарифмическая функция

Самостоятельная работа № 13.

Решение заданий на преобразование логарифмических выражений

Цель: Знать основное логарифмическое тождество, свойства логарифмов, уметь применять их при преобразовании выражений.

Методические рекомендации

I. Свойства логарифмов.

1. Основное логарифмическое тождество:

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. - формула перехода к другому основанию

9. 

Используя методические рекомендации, выполните задания:

1 вариант	2 вариант
1. Найдите значение числового выражения:	1. Найдите значение числового выражения:
2. Вычислите: а) ; б) ; в)	2. Вычислите: а) ; б) ; в)
3. Найдите , если известно, что .	3. Вычислите если известно, что .
4. Вычислить: а) ; б)	4. Вычислить: а) ; б)

Критерии оценивания знаний и умений учащихся

Оценка письменных работ обучающихся

Ответ оценивается отметкой «5», если:

работа выполнена полностью;

в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

в решении нет математических ошибок (возможны некоторые неточности, описки, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится в следующих случаях:

работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

допущены одна ошибка, или есть два – три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если:

допущено не более двух ошибок или более двух – трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Преподаватель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии обучающегося; за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные обучающемуся дополнительно после выполнения им каких-либо других заданий.

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров А.Д. Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10 класс : учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М. : Просвещение, 2022. – 271 с.

2. Александров А.Д. Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия 11 класс : учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М. : Просвещение, 2022. – 272 с.

3. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин]. – М. : Просвещение, 2022. – 431 с.

4. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин]. – М. : Просвещение, 2022. – 464 с.

5. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – М. : просвещение, 2022. – 255 с.

6. Пратусевич М.Я. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень / М.Я. Пратусевич, К.М. Столбов, А.Н. Головин. – М. : Просвещение, 2022. – 415 с.

7. Пратусевич М.Я. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень / М.Я. Пратусевич, К.М. Столбов, А.Н. Головин. – М. : Просвещение, 2022. – 463 с.