Методические указания к выполнению курсовой работы по учебной дисциплине «Математические методы»

Методические указания к выполнению курсовой работы по учебной дисциплине «Математические методы»

ВВЕДЕНИЕ

Методические указания к выполнению курсовой работы по учебной дисциплине «Математические методы» содержат общие требования и рекомендации к курсовой работе для студентов, обучающихся по специальности 09.02.03 «Программирование в компьютерных системах» на очной форме обучения.

Тематика курсовых работ определяется преподавателем дифференцированно, с учетом индивидуальных интересов каждого студента. Выбор учитывает государственный стандарт, направление учебно-методической работы, актуальные направления разработки математического, информационного и программного обеспечения. Студенту предоставляется право выбора одной из тем или предложения своей темы с обоснованием целесообразности ее разработки.

Курсовая работа должна быть подготовлена к защите в срок в соответствии с графиком учебной процесса. К защите курсовой работы предоставляются: курсовая работа, электронная реализация в виде решения задачи оптимизации.

По завершении студентом курсовой работы руководитель проверяет работу, проводится защита курсовой работы с оценкой.

1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

Целью курсовой работы является закрепление и углубление теоретических знаний, изучение математического аппарата и приобретение практических навыков разработки алгоритма и решения задачи оптимизации с помощью выбранного программного средства.

Задачи курсовой работы:

- изучение теоретических основ, определяющих тему курсовой работы;

- анализ возможных подходов и методов решения;

- разработка модели, необходимой для реализации поставленной цели;

- разработка алгоритма решения задачи;

- решение задачи с помощью выбранного программного обеспечения;

- анализ полученных результатов работы.

Методы курсовой работы:

- анализ литературы по теме исследования;

- теоретическое решение проблемы;

- проведение математического моделирования;

- решение задачи с использованием программного обеспечения.

В курсовой работе студент должен показать

знания:

- методов системного анализа описания предметной области;

- математических моделей и методов анализа расчетов, оптимизаций детерминированных и случайных явлений и процессов;

- возможностей программного обеспечения компьютерных систем;

умения:

- выделять существенные моменты задачи;

- разрабатывать математическую модель задачи;

- обосновывать выбор методов решения задачи;

- решать задачу выбранными методами в соответствии с алгоритмами основных методов линейного программирования;

- формулировать выводы по полученным результатам моделирования.

2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Курсовая работа может выполняться с использованием фонда библиотеки, компьютерной техники. Выполнение курсовой работы студента проводится во время практических занятий, предусмотренных учебным планом, и базируется на обобщении ранее выполненных работ.

Руководитель оказывает помощь в выборе темы курсовой работы, разработке плана выполнения работы, проводит регулярные консультации, контролирует ход выполнения работы. Ответственность за выбор того или иного решения, правильность расчетов, оформление работы несет студент. Руководитель предостерегает его от ошибочных решений и характеризует достоинства и недостатки различных вариантов решений, при этом право окончательного выбора предоставляется студенту.

Последовательность выполнения курсовой работы включает следующие этапы:

- уточнение темы;

- утверждение темы предметно-цикловой комиссией дисциплин программного обеспечения;

- анализ теоретических источников;

- выбор методов, моделей, структур и их обоснование;

- определение наборов исходных данных и алгоритмов их обработки;

- решение поставленной задачи на компьютере и получение результатов;

- анализ полученных результатов;

- подготовка к защите курсовой работы;

- защита курсовой работы.

Контроль над работой студента осуществляется руководителем в процессе проведения плановых занятий и консультаций.

4. СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

В практической части студент должен обосновать выбор метода решения задачи. Практическая часть курсовой работы должна содержать:

- постановку задачи;

- математическую модель задачи;

- решение задачи графическим методом;

- решение задачи симплекс-методом;

- решение транспортной задачи;

- решение задачи с помощью Microsoft Excel;

- решение задачи с помощью пакета MathCad.

В зависимости от вида задачи практическая часть может содержать не все перечисленные ниже компоненты.

После решения задачи различными методами необходимо проанализировать полученные результаты и сделать вывод об эффективности выбранных методов.

4.1 Постановка задачи

Некоторое предприятие, после выполнения основной производственной программы, располагает запасами сэкономленного сырья (трёх видов) S1, S2, S3 соответственно в количествах b₁, b₂, b₃ условных единиц. Из этого сырья может быть изготовлено два вида изделий P1, P2. Известны: A_ij – количество единиц S_j – го сырья, идущего на изготовление единицы Р_j – го вида изделия.

Таблица 1 - Исходные данные.

Составить такой план выпуска продукции, при котором доход предприятия от реализации всей продукции будет максимальным.

4.2 Математическая модель

На основе условия задачи составить математическую модель, состоящую из целевой функции и системы ограничений.

Пусть x₁ – это количество изделий вида Р1, x₂ – количество изделий вида Р2.

Преобразовать математическую модель задачи к стандартному виду: в системе ограничений от неравенств перейти к уравнениям путем введения дополнительных переменных. В результате проведенных преобразований будет получена основная задача линейного программирования.

4.3 Алгоритм решения задачи графическим методом

1) Построить график по системе ограничений.

2) Определить область допустимых решений (ОДР).

3) Построить график целевой функции.

4) Найти оптимальную точку (максимум или минимум): двигать прямую целевой функции параллельно самой себе (вверх или вниз), пока прямая не выйдет за пределы ОДР. Крайняя точка ОДР будет оптимумом.

5) Определить, пересечением каких прямых получена оптимальная точка.

6) Решить систему уравнений.

7) Подставить неизвестные в уравнение целевой функции.

8) Сделать вывод о результатах.

9) В случае нескольких подозрительных на оптимум точек, проверить все случаи, и из них выбрать оптимальное решение по результату целевой функции.

4.4 Алгоритм решения задачи симплекс методом

Преобразовать модель к основной задаче линейного программирования. Пусть имеются базисные переменные y₁, y₂, y₃ и свободные x₁, x₂, тогда систему линейных ограничений всегда можно привести к виду.

Составить симплекс таблицу на основе основной задачи линейного программирования.

Выделить разрешающий столбец x_i, разрешающую строку y_j, разрешающий элемент a_ij.

Вычислить величину обратную разрешающему элементу и записать ее в правый нижний угол ячейки.

Остальные элементы разрешающего столбца разделить на разрешающий элемент aij, и результат записать в правый нижний угол.

Остальные элементы разрешающей строки разделить на разрешающий элемент aij, и  результат с противоположным знаком записать в правый нижний угол.

В правый нижний угол всех остальных клеток таблицы поместим результат умножения верхнего элемента разделяющей строки, полученного при проведении проекции из рассматриваемой клетки на разделяющую строку, на нижний элемент разрешающего столбца, полученный при проведении проекции из рассматриваемой клетки на разрешающий столбец, т.е. для клетки y_sx_p имеем - проекция из этой клетки на разрешающую строку ys определяет выделенный элемент разделяющей строки a_ip и проекция этой клетки на 

Сформировать новую таблицу:

заменить в её заголовках y_i на x_j и наоборот;
- в новые строку x_j и столбец y_i вписать нижние числа из разрешающей строки y_i и разрешающего столбца x_i исходной таблицы;

- в остальные клетки таблицы записать разность чисел находящихся в верхней и нижней части в соответствующей клетки исходной таблицы.

Реализация действий 3-7 продолжается до тех пор, пока в строке целевой функции не будут получены положительные коэффициенты при свободных переменных.

4.5 Решение задачи с помощью Microsoft Excel
1. Ввод условий задачи:

- создание формы для ввода условий задачи;

- ввод исходных данных;

- ввод зависимостей из математической модели;

- назначение целевой функции;

- ввод ограничений и граничных условий.

Таблица 2 – Ввод условий задачи.

2. Решение задачи:

- установить курсор в ячейку значения целевой функции;

- выполнить команду Сервис, Поиск решения;

- заполнить диалоговое окно поиска решения в соответствии с математической моделью задачи;

- на вкладке Параметры определить пункты Неотрицательные значения и Линейная модель;

- нажать кнопку выполнить;

- в окне результаты поиска решения выбрать Сохранить найденное решение.
3. Проанализировать полученные результаты.

4.6 Решение задачи с помощью пакета MathCad