Методика решений задания 19 ЕГЭ

Методика решений задания 19 ЕГЭ

Подготовила учитель математики высшей категории МБОУ СОШ № 30

Маргиева Елена Феликсовна

Мыслить нужно нестандартно

По какой же причине задача №19 считается (и, в общем-то, является) самой сложной на ЕГЭ по математике?

Она нестандартна и требует математической культуры, т.е. умения грамотно строить рассуждения.

Безусловно, задание №19 рассчитано на особую категорию учащихся. Однако мотивацию для решения этих задач нужно формировать на протяжении всего процесса обучения. Для того, чтобы продвинуться в решении некоторых задач не требуется специальных знаний, выходящих за рамки стандарта математического образования, однако необходимо проявить определённый уровень математической культуры, логического мышления, который формируется при решении задач профильного уровня на протяжении всего процесса обучения в школе.

Необходимая теория

Признаки делимости на 2 и 4

Число делится нацело на 2, если оно заканчивается четной цифрой или нулем.

Например: числа 5438 и 8970 делятся на 2, а число 7351 – нет.

Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях – не делится.

Например: числа 58400 и 78924 делятся на 4, а число 45631 – нет.

Признаки делимости на 3 и 9

Если сумма цифр числа делится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3.

Например: числа 1542 и 6213 делятся на 3, а число 7358 – нет.

Если сумма цифр числа делится нацело на 9, то и само число делится нацело на 9.

Например: числа 9126 и 78165 делятся на 9, а число 16534 – нет.

Признаки делимости на 6 и 8

Число делится на 6, если оно одновременно делится на 2 и на 3. В противном случае – не делится.

Например: числа 6834 и 9870 делятся на 6, а число 1357 – нет.

Число делится на 8, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. В остальных случаях – не делится.

Например: числа 79000 и 251240 делятся на 8, а число 45638 – нет.

Признаки делимости на 5 и 25

Если число заканчивается цифрой 5 или 0, то это число делится нацело на 5.

Например: числа 13450 и 69475 делятся на 5, а число 31856 – нет.

Число делится на 25, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 25. В остальных случаях – не делится.

Например: числа 78100 и 53475 делятся на 25, а число 49855 – нет.

Признаки делимости на 11

На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на число, делящееся на 11.

Например: число 103 785 можно разделить на 11, так как 1 + 3 + 8 = 12 и 0 + 7 + 5 = 12.

Число 461 025 не может быть разделено на 11, потому что 4 + 1 + 2 = 7 и 6 + 0 + 5 = 11 не равны, а их разность 11 – 7 = 4 на 11 не делится.

Задание № 19 Базовый уровень

Задание 1

Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся трёхзначное число делилось на 27. В ответе укажите получившееся число.

Решение.

Если число делится на 27, тогда оно делится на 9. Число делится на 9, тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Следовательно, сумма цифр получившегося числа должна делится на 9 (но если число делится на 9, то оно необязательно делится на 27, поэтому потребуется проверка).

Сумма цифр числа 123456 равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = =21. Чтобы сумма цифр получившегося числа была равна 9, вычеркнем цифры, дающие в сумме 12: 6, 5 и 1. Получим число 234, оно не делится на 27. Тогда вычеркнем 2, 4 и 6, получим 135 — делится на 27.

Ответ: 135.

Задание 2

Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 72. В ответе укажите ровно одно такое число.

Решение.

Если число делится на 72, то оно делится на 8 и на 9.

Если число делится на 8, то число, образованное последними его тремя цифрами, тоже делится на 8. Шестизначных чисел из 1 и 2, делящиеся на 8 должны заканчиваться тройкой цифр 112.

Если число делится на 9, то сумма его цифр тоже делится на 9.

112 даёт в сумме 4, то есть сумма первых цифр должна равняться 5, то есть должна состоять из перестановок двух двоек и единицы.

Таким образом, искомые числа: 122112; 212112; 221112.

Ответ: 122112; 212112 или 221112.

Задание 3

Найдите четырёхзначное число, кратное 18, произведение цифр которого равно 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение.

Если число abcd кратно 18, то оно кратно 2, 9, 3, 6: то есть оно должно быть четным и сумма его цифр должна быть кратна 9. Таким образом, d - четное,  a + b + c + d  делится на 9, a ∙ b ∙ с ∙ d = 24. Произведения цифр могут быть представлены в виде 4∙6 или 8∙3. Числа, удовлетворяющие данным условиям: 3222; 2322; 2232.

Ответ:  3222; 2322; 2232.

Задание 4

Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна 25, если известно, что его квадрат делится на 16.

Решение.

Разложим число 25 на слагаемые: 25 = 9 + 9 + 7 = 9 + 8 + 8.

Квадрат числа делится на 16, значит, само число делится на 4. Это значит, что оно как минимум заканчивается на чётную цифру. То есть первый набор отпадает, так как в нём таковых нет. Из второго мы можем составить числа 988 и 898. Первое число удовлетворяет условиям задачи.

Ответ:  988.

Задание № 19 Профильный уровень

Задание 1

Рассматривается набор гирек, масса каждой из которых — целое число граммов, а общая масса всех гирек равна 500 граммам. Такой набор называется правильным, если любое тело, имеющее массу, выраженную целым числом граммов от 1 до 500, может быть уравновешено некоторым количеством гирек набора и притом единственным образом (тело кладется на одну чашу весов, гирьки — на другую; два способа уравновешивания, различающиеся лишь заменой некоторых гирек на другие той же массы, считаются одинаковыми).

а) Является ли правильным набор, состоящий из 167 гирек массой по одному грамму, одной гирьки массой 165 граммов и одной гирьки массой 168 граммов?

б) Приведите пример правильного набора, в котором не все гирьки по одному грамму.

в) Сколько существует различных правильных наборов? (Два набора различны, если некоторая гирька участвует в этих наборах неодинаковое число раз.)

Решение.

а) Этот набор не универсальный, поскольку массу 165 г можно уравновесить двумя способами: 165 гирек массой по 1 г или одна гирька массой 165 г.

б) Например, две гирьки массой 167 граммов и 166 гирек массой по 1 грамму.

в) Пусть наибольшая масса гирьки в некотором правильном наборе равен  M , а общая масса всех остальных гирек равна  m . Ясно, что любую массу, меньшую  M , можно уравновесить меньшими гирьками, значит, m≥M – 1. Пусть m≥M,  тогда есть минимум два способа уравновесить массу M+r,   где  r  — это остаток от деления  m  на  M . Значит,  m = M – 1.

Пусть гирек максимальной массы  k  штук, тогда общая масса всех гирек kM+m=500,  значит, 501 делится на  M . Найдя  M , можно определить массу второй по тяжести гирьки. Аналогичными рассуждениями получаем, что она должна быть делителем  M . Разложим 501 на простые множители: 501=3∙167. Значит, существует всего два набора, кроме состоящего из одних однограммовых гирек. Первый набор состоит из двух гирек массой 167 граммов и 166 гирек массой по 1 грамму. Второй набор состоит из 166 гирек массой по 3 грамма и двух гирек массой по 1 грамму.

Ответ: а) нет, б) две гирьки массой 167 граммов и 166 гирек массой по 1 грамму, в) три набора.

Задание 2

На шести елках сидят шесть сорок — по одной на каждой елке. Елки растут в ряд с интервалом в 10 м. Если какая-то сорока перелетает с одной елки на другую, то какая-нибудь другая сорока обязательно перелетает на столько же метров, но в обратном направлении.

а) Могут ли все сороки собраться на одной елке?

б) А если сорок и елок семь?

в) А если елки стоят по кругу?

Решение.

а) Посчитаем суммарное расстояние от всех сорок до самой левой елки. Очевидно, оно равно 10 + 20 + 30 + 40 + 50 = 150 м и не меняется после каждого перемещения сорок.

Если все сороки окажутся на одной елке, то расстояние от этой елки до самой левой равно 150:6 = 25 м, но ясно, что на этом расстоянии никакой елки не растет.

б) Занумеруем елки последовательно. Тогда пусть сороки с 1-ой и 7-ой елок летят на 4-ую. Аналогично, сороки со 2-й и 6-й елок летят на 4-ую. Аналогично, сороки с 3-й и 5-й елок летят на 4-ую. Таким образом, все сороки собрались на четвертой елке.

в) Занумеруем елки по кругу (от 1 до 6). Поставим в соответствие каждой сороке номер елки, на которой она сидит. Ясно, что после каждого перелета сорок четность суммы номеров елок, на которых они сидят, не меняется. А изначально это сумма равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Значит, она останется нечетной. Если же все сороки соберутся на одной елке, то сумма их номеров должна делиться на 6, то есть быть четной. Противоречие.

Ответ: а) Нет; б) Да; в) Нет.

Задание 3

Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1 000 кг и 60 штук по 1 500 кг (раскалывать глыбы нельзя).

а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

Решение.

а) Масса любых трёх таких глыб не превосходит 5 тонн. Значит, в 60 грузовиков можно погрузить 180 таких глыб. Всего глыб 170, поэтому их можно увезти на 60 грузовиках.

б) Суммарная масса глыб равна 50·800+60·1000+60·1500=190000 (кг), то есть в точности совпадает с грузоподъёмностью 38 грузовиков. Значит, если возможно увезти эти глыбы на 38 грузовиках, то каждый грузовик должен быть загружен полностью (по массе груза).

Если в каком-то грузовике есть глыба массой 800 кг, то единственная возможность загрузить такой грузовик полностью — это добавить ещё 4 таких глыбы и одну глыбу массой 1 000 кг. Таким образом, грузовиков, загруженных так, понадобится 10 штук. Поскольку осталось 60 глыб, массой 1 500 кг каждая, и 28 грузовиков, то в одном из грузовиков должно быть хотя бы 3 такие глыбы. Но в грузовик, в который загружено 3 глыбы, массой 1 500 кг каждая, ничего больше погрузить не получится.

Значит, на 38 грузовиках увезти эти глыбы нельзя.

в) В предыдущем пункте было показано, что 38 грузовиков не хватит.

Если в 10 грузовиков загрузить по 5 глыб, массой 800 кг каждая, и глыбу массой 1 000 кг, в 25 грузовиков загрузить по 2 глыбы, массой 1 000 кг каждая, и по 2 глыбы, массой 1 500 кг каждая, в 3 грузовика загрузить 3 глыбы, массой 1 500 кг каждая, и в один грузовик глыбу массой 1 500 кг, то все глыбы окажутся загружены в 39 грузовиков. Значит, наименьшее количество грузовиков — это 39.

Ответ: а) да; б) нет; в) 39.

Задание 4

В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 800 000 рублей (размер премии каждого сотрудника — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 250 купюр по 1000 рублей и 110 купюр по 5000 рублей.

а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?

б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 80 000 рублей, а остальное поделить поровну на 80 сотрудников?

в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?

Решение.

а) Каждый сотрудник должен получить 20 000 рублей. Выдадим 27 сотрудникам по четыре пятитысячных купюры, одному — две пятитысячных и десять тысячных, двенадцати — по 20 тысячных.

б) Каждый сотрудник, кроме ведущего специалиста, должен получить 9000 рублей, поэтому нужно будет выдать каждому не менее четырёх тысячных купюр, значит, всего их нужно не менее 320 штук. Следовательно, без сдачи и размена выдать премии не удастся.

в) Если сотрудников 64 или больше, то распределим премии так: 63 человека должны получить по 4 тысячи, один — всё остальное, остальные — ничего. Тогда выдать премии будет нельзя по тем же причинам, что и в пункте «б».

Если же их не больше 63, то выберем всех, кроме одного. Будем выдавать им премии, используя не более четырёх тысячных купюр, пока не кончится пятитысячные.

Если пятитысячные купюры закончились, то оставшиеся премии выдать точно удастся. Если же нет, то все премии, кроме одной, будут выданы, а последний просто заберёт все оставшиеся деньги.

Ответ: а) да; б) нет; в) 63.

Задание 5

На сайте проводится опрос, кого из 134 футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.

а) Всего проголосовало 17 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 41. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?

б) Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшиться не менее чем на 27?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов?

Решение.

а) Если рейтинг футболистов на сайте равен 41, то доля голосов, отданных за него, находиться в границах от 0,405 до 0,415. Поскольку всего проголосовало 17 посетителей сайта, получаем, что количество голосов, отданных за этого футболиста, не меньше 17∙0,405=6,885, но меньше 17∙0,415=7,055, то есть равно 7. После того, как Вася проголосовал, доля голосов за первого футболиста стала равна  

Значит, его рейтинг стал равен 39.

б) Пусть проголосовало 200 человек. За футболистов с 1 – 133 проголосовало по одному человеку, а за 134 – оставшиеся 67 человек. Тогда вероятность проголосовавших p 1 =…= p 133 = 0,5 (в процентах), а p 134 = 33,5 (в процентах). В этом случае, рейтинг 1-133 футболиста равен 1, а 134 – равен 34, сумма рейтингов равна 133∙1+34=167.

Если Вася отдаст свой голос за последнего футболиста, то его рейтинг останется равным 34, а рейтинги всех остальных футболистов станут равны 0. В этом случае сумма рейтингов станет равна 34, то есть уменьшится на 133.

в) Заметим, что для каждого из 134 футболистов доля отданных за него голосов, выраженная в процентах, отличается от рейтинга не более чем на 0,5. Поэтому сумма рейтингов всех футболистов отличается от 100 не более чем на 0,5 ∙ 134 = 67. В частности, эта сумма не может превосходить 167.

Пример, приведённый в предыдущем пункте, показывает, что сумма рейтингов может равняться 167. Значит, наибольшее значение суммы рейтингов всех футболистов — 167.

Ответ: а) 39; б) да; в) 167.

Спасибо за внимание!