Методическая разработка для учителя "Обучение решению задач на движение"

Методическая разработка на тему «Обучение решению задач на движение»

Традиционные задачи на движение включают в себя три взаимосвязанных пропорциональной зависимостью элемента: скорость, время и расстояние. Если изменяется одна из величин, то вероятно изменятся и две другие. Задачи на движение имеют различные виды, которые можно классифицировать по ряду признаков. Различают простые и составные задачи на движение. Составные задачи на движение подразделяют на:

• задачи на движение в одном направлении,

• задачи на сближение объектов,

• задачи на удаление объектов,

• задачи на движение по реке.

Кроме того, некоторые задачи на движение могут рассматриваться как:

• задачи на нахождение четвертого пропорционального;

• задачи на нахождение неизвестного по двум разностям;

• задачи на пропорциональное деление.

Простые задачи на движение характерны в большей степени для программы начальной школы. В основной школе рассматриваются задачи составные.

При ознакомлении с задачами ученики должны понимать основное отличие составной задачи от простой. Чтобы решить составную задачу необходимо условно разбить ее на несколько простых, восстановив целую систему связей между данными и исходными. Для того, чтобы решение такой задачи было наиболее эффективно для школьников, необходимо использовать схемы, чертежи, занимательные задачи и задачи развивающего характера, которые повышают интерес у детей, способствуют осознанному освоению знаний, умений и навыков, помогают развивать мышление, память, речь и т.п .

Понятие «задача» включает в себя два вида деятельности: процесс составления задачи и процесс ее решения. Данные процессы взаимообратные. Составление - это процесс объединение частей в единое целое. Решение задачи - это анализ, то есть обратный процесс, разбивание целого на части. Рассмотрим приемы обучения решению задач на движение.

1.Задача на движение создается в результате конструирования реально предполагаемого процесса, с целью решения проблемы бытового, производственного или социального характера.

2. Эмпирический путь возникновения задачи – это возникновение на основе наблюдений, анализа, сравнения, вычислений, графических построений и т.п.

3. Между понятиями, и свойствами задач на движение существуют взаимосвязи. Они используются для составления задач. Задачи можно составлять эквивалентными, когда условие или требование или то и другое равносильны. Можно составить задачу аналогичную по сюжету, методу или используемым в ней приемам решения. Можно составить задачу, обратную данной, и, как правило, не одну.

Рассмотрим несколько различных примеров задач на движение.

1. Задача на движение объектов в одном направлении: Грузовик и

Пассажирский автобус выехали в одно время из города N в город K. Автобус ехал со скоростью60км/ч, а грузовика45км/ч. Найдите время, через которое автобус опередит грузовик на 50км?

Решение: Проанализируем условие. Нам известно:

Скорость грузовикаV1=45км/ч

Скорость автобуса V2=60км/ч

Расстояние (путь)на которое автобус опередит грузовикS= 50 км

В подобных задачах необходимо свести условие к наглядному изображению для того, чтобы лучше понять что дано, и как это можно использовать при решении. Поэтому, необходимо изобразить схематично условие

Рисунок 1. Задача на движение в одном направлении

Данную задачу удобнее решить арифметическим способом.

1. 60-45=15 (км/ч)-скорость автобуса больше скорости грузовика

2. 50:15=3 (ч)-время за которое автобус опередит грузовик на 50 км

3. 3 =3 ч 20 мин

Ответ: 3 часа 20 мин.

1. Задачи на встречное движение. При решении задач на встречное

движение важной величиной является скорость сближения движущихся объектов. Скорость сближения-это то расстояние, которое преодолевают движущиеся на встречу друг другу объекты за единицу времени. Скорость сближения можно найти по формуле: Vсб=V1+V2, где V1 и V2 – скорости движущихся на встречу друг другу объектов.

Рассмотрим пример задачи на сближение: Расстояние между пунктом А и В 3450 км. Два поезда из этих пунктов вышли навстречу друг другу в одно время и встретились через 24 часа. Найдите скорость второго поезда, если первый поезд за 3 часа проходил 240км.

Рисунок 2. Задача на сближение

Решение: Пусть х км/ч – скорость второго поезда. По условию между ними 3450км. И встретятся они через 24 часа. Найдем скорость первого поезда и составим уравнение:

1. 240:3=80 (км/ч)-скорость первого поезда

2. 24 • (80+х)=3450

80+х=3450:24

80+х=143,75

х=143,75-80

х=63,75

Ответ: 63,75 км/ч скорость второго поезда

1. Задачи на движение в противоположном направлении. При решении

задач такого типа суммарная скорость двух движущихся объектов несет другую смысловую нагрузку. Расстояние, на которое удаляются движущиеся предметы за единицу времени, называют скоростью удаления. При движении в противоположных направлениях скорость удаления равна сумме скоростей движущихся объектов. На математическом языке можно записать это следующим образом: Vуд=V1+V2, где V1 и V2 – скорости движущихся в противоположных друг от друга объектов.

Пример: Два друга Леша и Коля вышли в одно время из школы после уроков в противоположных направлениях. Скорость Леши 3 км/ч, скорость Коли 4 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут друзья через 2 часа? Какова скорость их удаления друг от друга?

Построим схему по условию задачи.

Рисунок 3. Иллюстрация к задачи на отдаление объектов

Данная задача является достаточно простой и решается в курсе 4-5 классов. Именно поэтому целесообразно использовать арифметический метод.

Решение:

1. 3+4=7 (км/ч)-скорость удаления друзей друг от друга

2. 7•2=14(км)-расстояние, которое будет между ними через 2 часа

Ответ: 14 км.

1. Задачи на движение по реке. Также такие задачи называют «на

движение по водоему». Вторая формулировка данного типа задача более верна на наш взгляд, что объясняется тем, что эти задачи можно разделить на несколько разновидностей: на движение по течению реки, на движение против течения реки и на движение по озеру (в стоячей воде).

Особенностью задач на движение по течению или, как еще говорят, вниз по реке заключается в том, что объект, движущийся по реке, плывет по течению быстрее на величину течения реки, чем если бы он плыл по стоячей воде. Таким образом, чтобы найти с какой скоростью плывет объект по течению, мы должны к собственной скорости объекта прибавить скорость течения. В виде формулы можно записать это следующим образом:

Vпо теч=Vсоб+Vтеч.

Задачи на движение объекта против течения реки отличаются от предыдущих тем, что движения объекта против течения реки замедляется на величину скорости течения. Это объясняется тем, что река движется на встречу и тем самым создает сопротивления для движущегося объекта. Таким образом, чтобы вычислить скорость движения против течения реки необходимо от собственной скорости отнять скорость течения реки. Выразить эту величину на математическом языке можно следующим образом: Vпротив теч=Vсоб - Vтеч.

Если в задаче необходимо вычислить собственную скорость катера, теплохода, плота, баржи или любого другого объекта, то необходимо руководствоваться тем, что известно в задаче. Исходя из формул, описанных выше, можно выразить формулы собственной скорости объекта:

Vсоб =Vпо теч - Vтеч.

Vсоб =Vпротив теч+ Vтеч.

Задачи на движение по реке в основной школе обычно включают в себя несколько неизвестных компонентов, которые нужно найти для того, чтобы ответить на вопрос задачи. Такие задачи решаются как арифметическим так и алгебраическим методами. Рассмотрим примеры задач на движение по водоему:

Пример1.Рыбаки плыли на надувной лодке по течению реки 48 км и 48 км против течения, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость лодки если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Решим эту задачу алгебраическим методом. Для этого поэтапно распишем все решение, начиная с анализа текста задачи.

Этап 1. Анализ условия. Проведем анализ условия в виде предполагаемого диалога учителя и учеников.

Таблица 2

Этап 2 Поиск способа решения задачи. Выражение искомой величины через переменную

Таблица 3

Этап 3. Составление уравнения.

Пусть х км/ч – собственная скорость лодки. Следовательно, скорость лодки по течению реки х+4 км/ч, а против х-4 км/ч. По условию задачи, рыбаки по течению проплыли 48 км., а против 48. Мы знаем, что для того чтобы выразить время необходимо расстояние разделить на скорость. Время, затраченное на весь путь составляет 5 часов. Таким образом, время, затраченное на путь по течению равно 48:(х+4), время затраченное на путь против течения равно 48:(х-4), а сумма этого времени и будет равна 6 часам. Следовательно, наше уравнение будет выглядеть следующим образом:

48:(х+4)+48:(х-4)=5

Этап 4. Решение уравнения

Приведя к общему знаменателю получим:

48(х-4)+48(х+4)= 5(х+4)(х-4)

48х-192+48х+192=(5х+20)(х-4)

+96х+80=0

D=9216-4•(-5)•80=10816

Х1=-0,8

Х2=20

Отрицательный корень не подходит так как скорость не может быть отрицательной. Поэтому проверяем положительный

Этап 5. Проверка

48(20-4)+48(20+4)=5(20+4)(20-4)

768+1152=1920

1920=1920

Задача решена верно

Ответ: 20 км/ч собственная скорость лодки.

В результате решения любой математической задачи у учеников формируется определенный набор универсальных учебных действий, которые являются важным условием для успешной реализации учебного процесса в условия реализации федеральных государственных стандартов (ФГОС). Рассмотрим, какие УУД формируется у учеников в результате решения предыдущей задачи:

Таблица 4

Таким образом, текстовые задачи на движение являются важным элементом в системе текстовых задач основной школы. Они сопровождают школьников на протяжении всего периода обучения с начальной школы до среднего звена вплоть до единого государственного экзамена.

Текстовые задачи являются одним из важных средств обучения математике. С их помощью школьники получают опыт работы с величинами, познают взаимосвязи между ними, набирают опыт применения математики к решению практических задач. Использование алгебраических, геометрических, арифметических, логических способов решения задач развивает логику, сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, подготавливает учащихся к дальнейшему обучению.

Также необходимо отметить, что методика обучения решению задач будет эффективна тогда, когда в результате ее применения происходит повышение уровня умения учащимися решать задачи; выработке способности решать составные задачи помогают упражнения творческого характера. К ним относятся решение задач повышенной трудности, решение задач, имеющих несколько решений, решение задач несколькими способами, решение задач с недостающими и лишними данными, а так же упражнения в составлении и преобразовании задач.