Методическая разработка: "Решение задач на проценты в формате ГИА"

Решение задач на проценты

в формате ГИА.

Выполнила:
Плачковская Катерина
МБОУ «Средняя общеобразовательная
школа№49»,9в класс

Научный руководитель:
Солуян Надежда Николаева,
учитель математики,
«Почетный работник общего образования
Российской Федерации».

г. Новокузнецк 2014г.

Введение.

Проценты это одна из сложнейших тем в математике, и очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты. А понимание процентов и умение производить процентные расчеты, необходимы для каждого человека. Прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и другие сферы нашей жизни. Изучение процента продиктовано самой жизнью. Умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни.

Историческая справка

История происхождения процентов началась еще в древности.  Слово процент переводится как «за сотню» или «со ста».  И первыми идею выражать, таким образом, частей целого постоянного, придумали древние вавилоняне.  Дело в том, что этот строй пользовался шестидесятеричными дробями, поэтому им просто необходимо было такое нововведение. До наших дней дошли клинописные таблицы вавилонян, при помощи которых можно легко и быстро определить, какова сумма процентных денег

А вот в древнем Риме основная история возникновения процентов официально начинается с тех времен, когда сенату пришлось устанавливать максимально допустимый процент, взимаемый с должников, что бы заимодавцы «не переусердствовали», в «выбивании долгов». Кстати, имения из древнего Рима проценты начали свое «шествие» по миру.

В Средние века очень сильно распространена была торговля, в связи, с чем много внимание было обращено на правильность и умение высчитывать проценты. Тогда уже проценты, история которых началась гораздо раньше, начали свою эволюцию.  Торговцам приходилось считать не просто проценты, а проценты с процентов, сложные проценты и т.д.  Некоторые компании даже составляли свои таблицы и схемы по вычислению процентов. Эти таблицы, кстати, считались коммерческой тайной и тщательно охранялись.

Теоретические сведения.

Принято называть сотую часть любой величины или числа процентом. Слово «ПРОЦЕНТ» происходит от латинского слова «ЦЕНТИ» (по-французски, «санти»), указывающего на уменьшение единицы измерения в 100 раз. Для краткости слово «ПРОЦЕНТ» после числа заменяют знаком «%».

Определение процента.

Процентом называют одну сотую часть.
Так как 1% равен сотой части величины, то вся величина равна 100%

1% = 1/ 100 = 0,01

Основные способы решения задач на проценты:

1. Используя правила

2. Применяя пропорцию

3. Составлением уравнения

4. Составлением таблицы

5. По действиям.

Основные виды задач на проценты в формате ГИА.

Задача 1. Нахождение процента от числа.

Правило: Чтобы найти проценты от данного числа, нужно:

1. проценты записать десятичной дробью,

2. затем, данное число умножить на десятичную дробь.

Задача 2. Нахождение числа ( целого ) по данному проценту.

Правило: Чтобы найти искомое число по его проценту, нужно:

1) заменить проценты десятичной дробью

2) разделить на эту дробь данное число.

Задача 3. Нахождение процентного отношения чисел

Правило: Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно:

1) разделить первое число на второе

2) полученное число умножить на 100%.

Задача 4. Увеличение на проценты.

1)Найдем, какой в процентах стала цена

2)Переведем проценты в дробь и умножим на число

Задача 5. Задачи на процентное содержание растворов

1) Переведем проценты в дробь:

2)Умножим число на дробь:

3) Составим пропорцию и решим.

Задача 6. О повышении и понижении цены товара.

1)Стоимость товара после ( до ) снижения ( повышения ) цены в процентах

2)Стал стоить товар в рублях

3)Стал стоить товар после подорожания ( уценки ) в процентах
Стоимость товара сейчас.

Задача 7. Начисление банковских процентов.

1 способ: по правилам:

1) определить величину, принятую за целое

2) принять это за 100%

3) составить пропорцию и решить ее.

2 способ: составить уравнение.

3 способ: составить таблицу.

Задача 8. На расчёт концентрации.

Правило: Сумма концентраций всех компонент, входящих в смесь, равна 1.
1способ: составить уравнение.

2 способ: составить таблицу.

3 способ: составить пропорцию.

I. Нахождение процента от числа.

1)Предприятие изготовило за квартал 500 насосов, из которых 60 % имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества изготовило предприятие?
Способ решения: по правилам.

Решение:

Найдем 60 % от 500 (общее количество насосов).
60 % = 0,6
500 • 0,6 = 300 насосов высшей категории качества.

Ответ: 300 насосов высшей категории качества.

2)Длина Волги 3530 км. Корабль проплыл 10% длины этой реки и сделал первую остановку. Сколько километров проплыл корабль до первой остановки?
Способ решения: по правилам.

Решение:

Найдем:10% от 3530.
10%=0,1
3530 • 0,1=353 (км)

Ответ:353километра проплыл корабль до первой остановки.


3)Медведь, волк и лиса нашли в лесу сундук с 5050 золотыми монетами. Они взяли 40% всех монет, остальные монеты растащили грабители. Сколько монет растащили грабители?

Способ решения: по правилам.

Решение:

Найдем: 40% от 5050
40%=0,4
5050 •0,4=2020 (монет)- взяли медведь, волк и лиса.
5050-2020=3030(монет)

Ответ:3030 монет растащили грабители.

II. Нахождение числа А по данному проценту Р %.

1)Подоходный налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Павел Петрович получил 6090 рублей. Сколько рублей составляет его заработная плата?

Способ решения: по правилам

Решение:

1) 100% - 13% = 87% - приходится на 6090 рублей.

0,87% = 0,87
2) Найдем число по данному проценту

6090 : 0,87 = 7000 (руб.)

Ответ: 7000 рублей составляет заработная плата.

2) В цирке перед началом представления было продано 30% от всех заготовленных к продаже воздушных шариков, а в антракте – еще 40 штук. После представления осталось 20% от шариков, подготовленных к продаже. Сколько шариков было подготовлено к началу представления?
Способ решения: по действиям и правилу.
Решение:

1) 100% - 30% = 70%. – осталось после первой продажи.

2) 70% - 20% = 50% - продали в антракте 50% и это составляет 40 штук.

3) Найдем число по данному проценту. Для этого:

50% = 0,5 и 40 : 0,5 = 80 (шариков)

Ответ: К началу представления было подготовлено 80 шариков.

3) В классе второй иностранный язык изучают 60% учеников; из них 2/3 учит французский, остальные – немецкий. Сколько человек в классе, если немецкий язык изучают 7 человек?

Способ решения: по действиям.
Решение:

1) Узнаем, сколько % приходится на 2/3
60 × (2/3) = 40 (%)
2) 60% - 40% = 20% - приходится на немецкий язык
3) 20% - это 7 человек; 20% - 0,2

Пусть Х человек в классе, тогда: Х = 7 : 0,2 = 35 (чел)

III. Нахождение процентного отношения чисел.

1) Для приготовления отвара из лекарственных трав взяли цветки шалфея и ромашки в соотношении 5 : 6. Какой примерно процент в этой смеси составляют цветки шалфея?

Варианты ответа: а) 55%; б) 0,45%; в) 45%; г) 83%.

Способ решения: по правилу

Решение:

1) Найдем общее количество смеси в частях: 5 + 6 = 11 (ч) – вся смесь в частях

2) принять это за 100%
11 ч – 100%

3) составить пропорцию и решить ее:

5 ч – Х%

Х = 5 × 100 : 11 = 45%

Ответ: 45% - это вариант в.

2. Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 1 : 4. Сколько процентов деревьев в парке составляют лиственные?

Способ решения: по правилам.

Решение:

1 + 4 = 5 (ч) – все деревья

5 ч – 100%

4 ч – Х%

Х = 4 × 100 : 5 = 80%

Ответ: 80%.

3)Слесарь и его ученик изготовили 1200 деталей. ученик сделал 40% всех деталей. Сколько деталей сделал ученик?

Способ решения: пропорцией.

Решение.

1) определить величину, принятую за целое

2) принять это за 100%

3) составить пропорцию и решить ее.

1200дет. – 100%

Х дет. – 40%

Х =1200*40% : 100%

Ответ: 480 деталей.

Решение задачи, записанное таким образом, позволяет вычисления производить проще, применяя правила сокращения дробей.

IV. Увеличение на проценты.

1) Раньше номер в гостинице стоил 1250 рублей, но после Нового года его цена увеличилась на 9%. Сколько рублей стал стоить номер в гостинице после Нового года?

Способ решения: по правилу.

Решение:

1) Найдем какой в процентах стала цена номера

100% - была; 9% увеличение,

Значит стала: 100% + 9% = 109%

2) Переведем проценты в дробь и умножим на число:

Х = 1,09 × 1250 = 1362,5 (руб.)

Ответ 1362,5 рубля

2) В начале года число абонентов телефонной компании «Север» составляло 900 тыс. человек, а конце года их стало 1080 тыс. человек. На сколько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании?

Решение:

900 тыс. чел. – 100%

1080 тыс. чел. – Х%

Х = 1080 × 100 : 900 = 120%

120% составило число абонентов в конце года.

120% - 100% = 20% увеличение числа абонентов за год.

Ответ: 20%.

V. Задача о повышении и понижении цены товара.

1)Что произойдёт с ценой товара, если её сначала повысить на 25%, а затем понизить на 25%?

Способ решения: составление уравнения.

Решение:

Пусть цена товара х рублей, тогда после повышения товар стоит 125% или 1,25х.

После понижения цена товара составит:

75% или 0,75 ∙ 1,25х = 0,9375х.

Тогда понижение составило: х – 0,9375х = 0,0625х.

Переведём в проценты: 0,0625 ∙ 100% = 6,25%

Ответ: первоначальная цена товара понизится на 6,25%.

2)Товар стоил 1000 рублей. Продавец поднял цену на 10%, а через месяц снизил её на 10%.Сколько стал стоить товар?

Способ решения: по правилу.

Решение:

1) 1000 : 10 = 100(руб.) – поднялась цена

2) 1000 + 100 = 1100(руб.) – новая цена

3) 100% - 10% = 90% - стал стоить товар

4) 1100 ∙ 90% : 100% = 990(руб.) стал стоить товар

Ответ: 990 рублей.

3) Пальто стоило 3500 рублей, но через месяц его цена снизилась на 10%, а еще через три месяца пальто подорожало на 20%. После этого цена пальто не менялась. Сколько рублей стоит пальто сейчас?

Способ решения: по правилу .
Решение:
1)Стоимость пальто после снижения цены, в процентах:
100% - 10% = 90%; 90% = 0,9
2)Стало стоить пальто:
0,9 × 3500 = 3150 (руб.);
3)Стало стоить пальто после подорожания: в процентах:
100% + 20% = 120%.
При этом стоимость пальто до подорожания составляла 3150 руб.

4)Стоимость пальто сейчас:
1,2 × 3150 = 3780 (руб.)

Ответ: 3780 рублей

4) В начале года число абонентов телефонной компании «Север» составляло 900 тыс. человек, а конце года их стало 1080 тыс. человек. На сколько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании?

Применим универсальный способ решения.

Решение:

900 тыс. чел. – 100%

1080 тыс. чел. – Х%

Х = 1080 : : 900 × 100 = 120%

120% составило число абонентов в конце года.

120% - 100% = 20% увеличение числа абонентов за год.

Ответ: 20%.

5)Раньше номер в гостинице стоил 1250 рублей, но после Нового года его цена увеличилась на 9%. Сколько рублей стал стоить номер в гостинице после Нового года?

Решение:

1) Найдем какой в процентах стала цена номера

100% - была; 9% увеличение,

Значит стала: 100% + 9% = 109%

2) Переведем проценты в дробь и умножим на число:

Х = 1,09 × 1250 = 1362,5 (руб.)

Ответ: 1362,5 рубля

5. Яблоки подешевели на 20%. Сколько яблок можно купить теперь на теже деньги, на которые раньше покупали 2,8 кг. яблок?

Способ решения: составление таблицы.

Решение:

По условию задачи: « купить на те же деньги»

Составим и решим уравнение.

0,8 Х У + 2,8 Х

У = 2,8 Х : 0,8 Х = 3,5 ( кг)

Ответ: 3,5 кг.

Наиболее сложные задачи это: задачи на процентное содержание растворов и начисление банковских процентов. Решение это типа задач предусматривает применение основных правил, составление пропорций, решений уравнений.

VI. Задачи на процентное содержание растворов

1)Смешали 25 литров воды и 10 литров 14% - ого раствора соляной кислоты. Сколько процентов составляет концентрация соляной кислоты в получившемся растворе?

Способ решения: по правилу.

Решение:

1) Переведем проценты в дробь:

14%=14/100=0,14

2) Умножим число на дробь:

10*0,14=1,4(л) – раствора соляной кислоты в 10 литрах

3) Составим пропорцию:

количество процентное

жидкости содержание

35л -- 100%

1,4л -- х%

Х=1,4*100/35=4(%)

Ответ: 4%

2)Для приготовления маринада необходим 2% раствор уксуса. Сколько нужно добавить воды в 100г 9% - ого раствора уксуса, чтобы получить раствор для маринада?

Способ решения: пропорцией.

Решение:

1) 9%=9/100= 0,09

2) 100*0,09=9(г) – уксуса

3) масса процентное содержание

9 г -- 2%

х г -- 100%

х= 9*100/2=450(г) – масса раствора для маринада

450-100=350(г) – нужно добавить

Ответ: 350 грамм.

3)К 120 г раствора, содержащего 80% соли, добавили 480 г раствора, содержащего 20% той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе?

Способ решения: пропорцией.

Решение:

1. 0,8*120=96(г) – соли было в 1 растворе

2. 480*0,2=96(г) – соли было во 2 растворе

3. 480+120=600(г) – общая масса 2 растворов

4. 96+96=192(г) – масса соли

5) 600 г -- 100%

192г -- х%

х=192*100/600=32(%)

Ответ: 32%

VII. Начисление банковских процентов.

1)Костя в начале года положил в банк 10.000 рублей под 10% годовых. Сколько рублей будет на счету Кости к концу года, если никаких операций со счетом за этот год не происходило?

Способ решения: по правилу

Решение:

1) Найдем, сколько рублей приходится на 1%

10.000:10=1000 руб.

2) 10.000+1000+11.000 (руб.)- будет на счету

Ответ: 11.000 руб.

2) Костя в начале 2009 года положил в банк 20.000 рублей под 14% годовых. Сколько рублей было на счету Кости к концу 2010 года, если в середине 2010 года Костя снял со счета 10.000 рублей? Проценты начисляются в конце каждого года.

Способ решения: по правилу

Решение:

1) 100%+14%=114% - будет вклад через год

114%=1,14

2) 20.000x1,14=22.800 (руб.)- будет вклад в рублях через год

3) 22.800-10.000= 12.800 (руб.)- остаток на счету после снятия денег. И это же ставка к началу 2010 года.

4) т.к. процентная ставка не изменилась, то

12.800x1,14=14.592 (руб.)- было на счету к концу 2010 года.

Ответ: 14.592 рубля.

3) Банк в конце года начисляет 3% к сумме, находившейся на счету. На сколько рублей увеличится первоначальный вклад в 1000 руб. через 2 года?

Способ решения: по правилу

Решение:

1) 3%=0,03

0,03x1000=30 (руб.)- прибыль за год

2) 1000+30=1030 (руб.)- стало через год

3) 0,03x1030=30,9 (руб.)- прибыль еще через год

4) 30+30,9=60,9 (руб.)- увеличился первоначальный вклад

Ответ: на 60,9 рубля.

VIII. Задачи на расчёт концентрации.

Правило: Сумма концентраций всех компонент, входящих в смесь, равна 1.

1)К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?

Способ решения: составление уравнения.

  Решение. Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли.

Тогда нового раствора стало (15 + х) л, в котором содержаться 0,08 ∙ (15 + х) л соли.

В 15 л 10%-ного раствора содержится 15 : 10 = 1,5 л соли,

в х л 5%-ного раствора содержится 0,05х л соли.

 Составим уравнение:

1,5 + 0,05х = 0,08 ∙ (15 + х);
х = 10.

           Ответ: добавили 10 л 5%-ного раствора

2)Бронза – это сплав меди и олова. Из бронзы можно изготовить изделие, если в ней содержится 75% меди. Кусок бронзы массой 1000кг, содержащий 70% меди, сплавили с некоторым количеством меди и получили бронзу, пригодную для изготовления изделия. Определите, сколько килограммов меди было добавлено?

Способ решения: составление уравнения.

1) Найдём начальное содержание меди:

Пусть У– начальное содержание меди

У = 1000*70%:100% =700 (кг).

2)Пусть добавили х кг меди, тогда меди стало 700+х кг.

Общая масса после сплавления стала 1000 + х кг.

А меди в этом сплаве содержится:

1000 * 70% : 100% = 0,75 *(1000+Х)

Зная, что содержание меди одинаково, составим уравнение: 700 + х = 0,75 (1000 + х).

Откуда х = 200 кг.
Ответ: 200кг меди было добавлено.