Научно-исследовательская работа по теме Различные способы доказательства теоремы Пифагора

Научно-исследовательская работа по теме: «Различные способы доказательства теоремы Пифагора»

Пифагор

Гипотеза:   возможно ли узнать, другие способы доказательства теоремы Пифагора, не изучаемые в школьном курсе геометрии.

Цель исследования : рассмотрение других способов доказательства теоремы Пифагора.

Задачи:

• Найти новые способы доказательства теоремы Пифагора.
• Исследовать различные способы доказательства данной теоремы, не рассматриваемые в школе.
• Продемонстрировать другим учащимся существование новых способов доказательства теоремы Пифагора.

1. Как вы считаете, сколько существует способов доказательства теоремы Пифагора?

2. Хотели бы вы узнать другие способы доказательства теоремы Пифагора?

1. Простейшее доказательство

Для треугольника АВС:

квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по 2. Теорема доказана.

2.Доказательство Евклида.

Треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB = AB, BC = BD и  FBC  =  ABD . Но S ABD  = 1/2 S BJLD , так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично S FBC  = 1/2 S ABFH  (BF-общее основание, АВ - общая высота). Отсюда, учитывая, что S ABD  = S FBC  , имеем S BJLD  = S ABFH . Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что S JCEL  = S ACKG . Итак, S ABFH  + S ACKG  = S BJLD  + S JCEL  = S BCED , что и требовалось доказать.

3.Алгебраическое доказательство.

( a + b ) 2 = 2 a b + c 2

c 2 = a 2 + b 2

4.Через подобие треугольников.

АС : А D = АВ : АС = ВС : С D ;

АВ : ВС = ВС : В D = АС : С D Получим верные равенства:

АС · АС = АВ · А D

ВС · ВС = АВ · В D

в · в = с · А D

а · а = с ·В D

Складывая эти два верных равенства, получим

в ² + а ² = с (А D + В D )

с ² = а ² + в ²

5. Через косинус угла.

Проведем высоту С D из вершины прямого угла С.

По определению косинуса угла со s A = AD/AC = AC/AB , отсюда следует

AB · AD = АС 2

Аналогично

со s B = BD/BC = BC/AB , значит AB·BD = ВС 2

Сложив полученные равенства почленно, получим:

АВ 2 = АС 2 + ВС 2

6. Доказательство Дж. Гарфилда.

7. Старейшее доказательство.

8. Доказательство Хоукинса.

S CAA'  = b²/2  S CBB'  = a²/2  S A'AB'B  = (a²+b²)/2  Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому:  S A'AB'B  = c·DA/2+ c·DB/2 =

c (DA+DB)/2 = c²/2

Сравнивая два полученных выражения для площади, получим: a² + b² = c² 

9. Доказательство Гофмана.

Треугольник ABC с прямым углом С; отрезок BF перпендикулярен СВ и равен ему, отрезок BE перпендикулярен АВ и равен ему, отрезок AD перпендикулярен

  АС и равен ему; точки F, С, D 

принадлежат одной прямой; четырехугольники ADFB и АСВЕ 

равновелики, так как ABF = ЕСВ; треугольники ADF и АСЕ

  равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник ABC, получим

  с² = а² + b²

Результаты нашего исследования:

Мы рассмотрели несколько различных способов доказательства теоремы Пифагора, которые не представлены в школьном курсе геометрии. Работа над проектом позволили нам расширить свои знания в области геометрии.