Научно-исследовательская работа по теме "Задачи на клетчатой бумаге"

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Богучарская средняя общеобразовательная школа № 1»

Научно-исследовательская работа

по теме: « Решение задач на клетчатой бумаге»

Автор: Жуковская Татьяна Владимировна , 8 «Б» класс

Руководитель: Алабина Галина Юрьевна

Богучар 2016

Содержание

Историческая справка……………………………………………………………….3

Введение……………………………………………………………………………...4

Цель и задачи работы………………………………………………………………..5

Великие математики о вычислении площадей……...………………..................6

Георг Пик…………………………………………………………………………….7

Способы вычисления площадей многоугольников……………………..…………8

Решение задачи разными способами..……………………………………………...9

Опросы учеников…………………………………………………………..……….19

Вывод..…………………………………………………………………………….20

Литература, интернет-ресурсы……………………………………………….....21

Историческая справка

В обычной жизни на каждом шагу мы встречаемся с понятием “площадь”. Что такое “площадь”, знает каждый. Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты, площадь садового участка. Измерение площадей считают одним из самых древних разделов геометрии; в частности название “геометрия” (т.е. “землемерие”) связывают именно с измерением площадей. Согласно легенде, эта наука возникла в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом, и вычислять их площади. По-видимому, в древности приходилось рассматривать лишь участки, мало отличающиеся от прямоугольника по форме, а для таких участков погрешность невелика. Лишь в последствие было полностью развито учение о площадях и получены точные формулы для вычисления площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции и других многоугольников. Определение площадей геометрических фигур – одна из древнейших практических задач. Правильный подход к их решению был найден не сразу, но уже древние греки умели правильно находить площади многоугольников.

Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий. Еще 4 — 5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служит эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, ими можно заполнить плоскость без пробелов.

В древнем Китае мерой площади был прямоугольник. Когда каменщики определяли площадь прямоугольной стены дома, они перемножали высоту и ширину стены. Таково принятое в геометрии определение: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: основание треугольника делилось пополам, и умножалась на высоту; для трапеции же сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту и т.п. Для вычисления площади четырехугольника умножались полусуммы противоположных сторон.

Введение

Каждый человек имеет наглядное понятие о фигурах. Но в геометрии свойства фигур изучаются в отвлеченном (абстрактном) виде и с логической строгостью. Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, строгая логика – привилегия науки геометрии. Поэтому основное правило при изучении геометрии состоит в том, что, встречаясь с определенной задачей, нужно прежде представить и понять их содержание: представить наглядно, нарисовать, вообразить то, о чем идет речь, и одновременно понять, как это точно выражается.

Чтобы решить задачу, которую мне предложила учитель математики, пришлось познакомиться с формулой Пика. Это задачи на клетчатой бумаге. Такие задачи включены в контрольно – измерительных материалах ЕГЭ и ГИА, и я решила обязательно исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры.

Я приступила к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке с помощью формулы Пика. Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.

Цель работы: расширить знания о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приемах и методах решения этих задач, познакомиться с формулой Пика.

Задачи:

1.Подобрать необходимую литературу

2.Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию

3.Проанализировать и систематизировать полученную информацию

4.Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге

5.Классифицировать исследуемые задачи

6.Оформить работу в виде буклета

7.Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала

Объект исследования: геометрические задачи на нахождение площади фигур

Методы исследования: изучение и анализ литературы, анкетирование, анализ и синтез, сравнение, обобщение, практический метод

Результат исследования: я нашла формулу, с помощью которой можно без проблем решать большой класс задач, предлагаемых на экзаменах, — это задачи на нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге. Маленькая формула Пика заменит учащимся целый комплект формул, необходимых для решения таких задач.

Гипотеза: если геометрическая фигура изображена на клетчатой бумаге, то её площадь можно вычислить различными способами и убедиться, что результаты вычислений будут одинаковыми.

Великие математики о вычислении площадей

Тема нахождения площадей многоугольников всегда волновала умы многих великих математиков. В своих «Началах» Евклид не употреблял слова «площадь», так как он под самим словом «фигура» понимал часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией. Евклид сравнивал площади разных фигур между собой. Как и другие ученые древности, Евклид занимался вопросами превращения одних фигур в другие, им равновеликие. Площадь составной фигуры не изменится, если ее части расположить по-другому, но без пересечения. Поэтому, например, можно, исходя из формул площади прямоугольника, находить формулы площадей других фигур. Одним из поздних греческих математиков – энциклопедистов, труды которого имели главным образом прикладной характер, был Герон Александрийский, живший в 1 в. н. э. Будучи выдающимся инженером, он был назван также «Герон Механик». Одна из книг Герона была названа им «Геометрика» и является своего рода сборником формул и соответствующих задач. Она содержит примеры на вычисление площадей квадратов, прямоугольников и треугольников. Имя Герона навсегда связано с известной формулой нахождения площади треугольника, если даны три его стороны a,b,c:

, где:

Великому Архимеду принадлежат формулировки многих теорем о площадях и объемах сложных фигур и тел, вполне строго доказанные им методом исчерпывания. Гиппократ Хиосский, живший во второй половине V века до н. э исследовал площади плоских фигур, ограниченных как прямыми линиями, так и дугами окружности. Не остался в стороне и всем известный Пифагор. С помощью его знаменитой теоремы доказаны и выведены многие формулы для вычисления некоторых многоугольников.

Георг Пик

Георг Александр Пик (10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик. Георга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Шестнадцатого апреля 1880 года Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов». В Немецком университете в Праге в 1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м стал ординарным профессором. В 1900—1901 годах занимал пост декана философского факультета. В 1910 году Георг Пик был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна профессором в университет. Пик и физик Антон Лампа были главными инициаторами этого назначения, и благодаря их усилиям Эйнштейн, с которым Пик впоследствии сдружился, в 1911 году возглавил кафедру теоретической физики в Немецком университете в Праге. Пик и Эйнштейн не только имели общие научные интересы, но и страстно увлекались музыкой. Пик, игравший в квартете, который состоял из университетских профессоров, ввёл Эйнштейна в научное и музыкальное общества Праги. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

Способы вычисления площадей

Я провела исследование с целью выявления и сравнения различных способов вычисления многоугольников.

Сюжет будет разворачиваться на клетчатом листе.

1. Нахождение площади многоугольника по формуле Пика

Вычислим площадь многоугольников, данных в условиях задач из предыдущего пункта, используя формулу Пика, и проверим, всегда ли она применима при решении подобных.

2.Теорема Герона (для треугольников)

Площадь треугольника равна корню из произведения разностей полупериметра p треугольника и каждой из его сторон a,b и c на полупериметр:

,где:

3.Способ нахождения площади фигур, путем достраивания до прямоугольника 

Достроить до прямоугольника. Найти площадь каждой фигуры. Из площади прямоугольника/квадрата вычесть фигуры лишние и получить площадь закрашенной фигуры.

4.Нахождение площади фигуры, разбиванием на другие фигуры

Вычислить площадь можно найти, не достраивая фигуру до новой фигуры, площадь которой можно вычислить по известным формулам,  а разбив фигуру на части, площади которых можно легко найти и сложить площади частей.

Формулы, используемые для нахождения площадей фигур

ab ah ab a²

Sтрапеции= a+b)h Sпараллелограмма=ah_a

Решение задач разными способами

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Задача 1.

1.Формула Пика

В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

S = В +Г/2-1=10+6/2-1=10+3-1=12 см²

Ответ: 12 см²

2.Формула Герона

Площадь треугольника равна корню из произведения разностей полупериметра pтреугольника и каждой из его сторон a,b и c на полупериметр:

,где:

Сначала достроим треугольник до прямоугольника, потом по теореме Пифагора найдём стороны треугольника, после этого мы можем приступить к вычислению площади:

Пользоваться формулой Герона неудобно.

3.Способ нахождения площади фигур, путем достраивания до прямоугольника 

Достроить до прямоугольника. Найти площадь каждой фигуры. Из площади прямоугольника/квадрата вычесть фигуры лишние и получить площадь закрашенной фигуры.

S1

S2

S3

S4

ab= =9см²

2) ab = =12см²

3)S3= ab = =3см²

3) ab=6*6=36см²

4) =36-(9+12+3)=12см²

Ответ: 12см²

4. Нахождение площади фигуры, разбиванием на другие фигуры.

Невозможно разбить на фигуры с целочисленными сторонами.

Задача 2.

1.Формула Пика

В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

S = В +Г/2-1=6+8/2-1=6+4-1=9 см²

Ответ: 9 см²

2.Формула Герона.

Данный способ нахождения площадей фигур неудобен.

3.Способ нахождения площади фигур, путем достраивания до прямоугольника 

Достроить до прямоугольника. Найти площадь каждой фигуры. Из площади прямоугольника/квадрата вычесть фигуры лишние и получить площадь закрашенной фигуры.

ab= =10,5см²

2) ab = =1,5см²

3) ab=3*7=21см²

4) =21-(10,5+1,5)=9см²

Ответ: 9см²

4. Нахождение площади фигуры, разбиванием на другие фигуры.

Невозможно разбить на фигуры с целочисленными сторонами.

Задача 3.

1.Формула Пика

S = В +Г/2-1=9+5/2-1=10.5см ²

Ответ: 10.5 см²

2.Формула Герона.

Данный способ нахождения площадей фигур неудобен.

3.Способ нахождения площади фигур, путем достраивания до прямоугольника

ab = =5 см²

2) ab = =4.5см²

3) ab = =5 см²

3) ab=5*5=25см²

4) =25-(5+4.5+5)=10.5см²

Ответ: 10.5см²

4. Нахождение площади фигуры, разбиванием на другие фигуры.

Невозможно разбить на фигуры с целочисленными сторонами.

Задача 4.

1.Формула Пика

S = В +Г/2-1=7+12/2-1=12см ²

Ответ: 12 см²

2.Формула Герона.

Данный способ нахождения площадей фигур неудобен.

3. Способ нахождения площади треугольника по формуле

ab= 4*6=12см²

Ответ: 12 см²

4. Нахождение площади фигуры, разбиванием на другие фигуры.

Невозможно разбить на фигуры с целочисленными сторонами.

Задача 5.

1.Формула Пика

S = В +Г/2-1=10+4/2-1=11см²

Ответ:11 см ²

2.Формула Герона.

Данный способ нахождения площадей фигур неудобен.

3.Способ нахождения площади фигур, путем достраивания до прямоугольника

1

S1

2) (a+b)h = см²

3) ab = см²

4) ab = см²

5) ab=7*8= 56 см²

6) =56-(7,5+20+14+3,5)=11см²

Ответ: 11 см ²

4. Нахождение площади фигуры, разбиванием на другие фигуры.

Невозможно разбить на фигуры с целочисленными сторонами.

Задача 6.

1.Формула Пика

S = В +Г/2-1=8+8/2-1=11

Ответ: 11 см ²

2.Формула Герона.

Данный способ нахождения площадей фигур неудобен.

3.Способ нахождения площади фигур, путем достраивания до прямоугольника

ab = см²

2) ab = см²

3) ab = = 8 см²

4) ab = = 5 см²

5) ab=2*5=10 см²

ab=6*9=54 см²

7) =54-(6+14+8+5+10)=11 см²

Ответ: 11 см²

4. Нахождение площади фигуры, разбиванием на другие фигуры.

Невозможно разбить на фигуры с целочисленными сторонами.

Задача 7.

1.Формула Пика

S = В +Г/2-1=9+6/2-1=11см ²

Ответ: 11 см ²

2.Формула Герона.

Данный способ нахождения площадей фигур неудобен.

3.Способ нахождения площади фигур, путем достраивания до прямоугольника

S1

S3

2

S2

S3

3) ah = = 7см²

ab=6*7=42 см²

5) =42-(21+3+7)=11 см²

Ответ: 11 см²

4. Нахождение площади фигуры, разбиванием на другие фигуры.

Невозможно разбить на фигуры с целочисленными сторонами.

Задача 8.

1.Формула Пика

S = В +Г/2-1=5+11/2-1=9,5см ²

Ответ:9,5 см ²

2.Формула Герона.

Данный способ нахождения площадей фигур неудобен.

3.Способ нахождения площади фигур, путем достраивания до прямоугольника

S1 11

S2

S3

2) = см²

3) a+b)h = = 2,5см²

4) Sпрям.= ab = 4*4= 16см²

5) =16-(1+2,5+3)=9,5см²

Ответ:9,5см²

4.Нахождение площади фигуры, разбиванием на другие фигуры.

a+b)h= = 3см²

2) = 5см²

3) ab= см²

4) =1,5+3+5=9,5 см²

Ответ:9,5см²

Опрос учеников МКОУ БСОШ №1

Я провела опрос среди учеников 11 класса. 31 ученик рассказал мне о том, какие способы вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге им известны и какими из них они пользуются чаще всего. Подсчитав ответы меня получилось:

22 уч.

31 уч.

31 уч.

5 уч.

Вывод:

С помощью этой формулы можно без проблем решать большой класс задач, предлагаемых на экзаменах, — это задачи на нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге. Маленькая формула Пика заменит учащимся целый комплект формул, необходимых для решения таких задач. Формула Пика — это настоящее спасение для тех учеников, которые так и не смогли выучить все формулы для вычисления площадей фигур, для тех, кто так и не уяснил до конца, как выполнить разбиение фигуры или дополнительное построение, чтобы подобраться к вычислению её площади «через знакомых». С другой стороны, для тех, кто площадь многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге, умеет находить с помощью вышеперечисленных приёмов, формула Пика послужит дополнительным инструментом, с помощью которого можно будет решить задачу ещё и этим способом (и тем самым проверить правильность своего предыдущего решения, сверив полученные ответы).

Проанализировав способы решения задач, можно сделать следующие выводы:

1) Формула Пика даёт быстрое и простое решение задач на нахождение площади фигуры, вершины которой лежат в узлах решётки, то есть нахождения площадей многоугольников.

2) Использование формулы Пика для нахождения площади кругового сектора или кольца нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат.

3) Формула Пика не применяется для решения задач в пространстве.

Литература

• Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

• Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2012

• Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия на клетчатой бумаге. – М.: Чистые пруды, 2009.

• Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО, 2001. — 584 с. — ISBN 5-900916-82-0.

• А. Кушниренко Целые точки в многоугольниках и многогранниках // Квант. — 1977. — № 4. — С. 13—20.

Интернет-ресурсы

• http://interneturok.ru

• http://live.mephist.ru

• http://mathege.ru

• ilib.mccme.ru

• le-savchen.ucoz.ru

• reshuege.ru

• diductio.ru