Просмотр содержимого документа
«Общие методы решения уравнений»
«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, что, следуя нашему методу, мы достигли цели».
Готфрид Лейбниц
01.07.1646 – 14.11.1716 гг.
Методы решения уравнений – это способы, приёмы, с помощью которых можно решить то или иное уравнение.
Общие методы решения уравнений – это такие способы, приёмы, с помощью которых можно решить уравнения разного типа.
Функционально-графический метод
Метод разложения на множители
Общие методы решения уравнений
Метод введения новой переменной
Метод замены уравнения h ( f (х)) = h ( g (х)) уравнением f (х) = g (х)
Если функция h (х) монотонная , то она принимает каждое своё значение только один раз .
Пример 1. Решить уравнение (3х – 7) 5 = (2х + 3) 5 .
Решение.
3х – 7 = 2х + 3 ;
3х – 2х = 3 + 7 ;
х = 10 ;
Ответ: 10 .
Пример 2 . Решить уравнение (8 – 2х) 2 = (х 2 + 5) 2 .
Решение.
Так как функция h (х) = х 2 немонотонная , то применять этот метод нельзя .
0 ⇒ х – 1 ; ОДЗ : х + 3 0 log 3 (х + 1)(х + 3) = log 3 3 ; (х + 1)(х + 3) = 3 ; х 2 + 4х = 0 ; х 1 = 0, х 2 = – 4 ; Ответ: 0 . " width="640"
Пример 3 . Решить уравнение log 3 (х + 1) + log 3 (х +3) = 1 .
Решение.
х + 1 0
⇒ х – 1 ;
ОДЗ :
х + 3 0
log 3 (х + 1)(х + 3) = log 3 3 ;
(х + 1)(х + 3) = 3 ;
х 2 + 4х = 0 ;
х 1 = 0, х 2 = – 4 ;
Ответ: 0 .
— показательного уравнения;
— логарифмического уравнения;
— иррационального уравнения;
Метод разложения на множители
f(x) g(x) h(x) = 0 заменяют совокупностью уравнений f(x) = 0 , g(x) = 0 , h(x) = 0 .
Пример 4. Решить уравнение sin х + sin 2х+ sin 3х = 0 .
Решение.
( sin х + sin 3х) + sin 2х = 0 ;
2 sin 2х cos х + sin 2х = 0 ;
sin 2х (2 cos х + 1) = 0 ;
Метод введения новой переменной
0 ; t 2 – 5 t – 24 = 0 ; " width="640"
Пример 5 . Решить уравнение 4 х – 10 · 2 х-1 = 24 .
Решение.
2 2х – 5 · 2 х – 24 = 0 ;
2 х = t , t 0 ;
t 2 – 5 t – 24 = 0 ;
Решение.
t = log 5 х ;
t 2 – 2 t – 3 = 0 ;
Ответ: 125 ; 0,2 .
Функционально-графический метод решения уравнения f (х) = g (х)
C троят графики функций у = f (х) и у = g (х) .
Затем находят точки пересечения этих графиков, определяют их абсциссы.
Пример 7 . Решить уравнение 2 cos π х = 2х – 1 .
Решение.
у = 2х – 1
4
у = 2 cos π х
2
4
– 2
– 1
– 3
3
2
1
Ответ: х = 0,5 .
– 2
– 4
- Монотонность ;
- ограниченность ;
- чётность ;
- периодичность ;
- если одна из функций возрастает, а другая убывает на определённом промежутке, то уравнение f ( x ) = g ( x ) не может иметь более одного корня который, в принципе, можно найти подбором ;
- если функция f ( x ) ограничена сверху, а функция g ( x ) – снизу так, что f ( x ) мах = А g ( x ) м in = A , то уравнение f ( x ) = g ( x ) равносильно системе уравнений:
f(x) = A
g(x) = A .
Решение.
Ответ: 0.