Олимпиадная задача по математике (условие и решение).

Уравнения, содержащие знак факториала

Задача 1. Решить в натуральных числах уравнение 2 ∙ k! = m! – 2 ∙ n!

Решение.

2 ∙ k! = m! – 2 ∙ n!

Запишем данное уравнение в следующем виде: 2 ∙ (k! + n!) = m!

Мы можем теперь заметить, что отсюда следует, что  k £ n £ m или n £ k £ m.

Если n = k, то  4n! = m!  Обе части разделим на k!,  получится

4 = (n+1) ∙ (n + 2)… m

n + 1 = 2 или n + 1 = 4

Если n = 1, то 4 = m!

Если n = 3, то 4∙3! = m! Отсюда следует, что m = 4; n =3, k = 3, m = 4

2 ∙ k! = m! – 2 ∙ n!

2 ∙3! = 4! - 2∙3!

12 = 24-12

12 = 12

Если k < n, то 2k!(1+ (k +1)×(k + 2)... × n = m!

Отсюда следует, что  2 (1+ (k +1)× ... × n) = (k +1)(k + 2)× ... ×  m.

Отсюда следует, что k + 1= n = 2 и тройка чисел n =2, k = 1, m = 3 (1;2;3), является решением, а, следовательно, и тройка n = 1, k = 2, m = 3 (2;1;3)- решение.

Ответ: (1,2,3); ( 2,1,3); ( 3,3,4).

k! = m!/2 – n! ∙ k! = 1 ∙ 2m! = 1 ∙ 2 ∙ 3/2 n! = 6/2 - 1